2022-2023学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷

一、选择题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

• 1．下列函数的极限计算正确的是（　　）

  A． lim x → 1 x x + 1 = 1	B． lim x → 3 x - 3 x 2 - 9 = 1
  C． lim x →∞ （ 1 + 2 x ） x = e	D． lim x → 0 tanx x = 1
  组卷：73引用：1难度：0.6

  解析

• 2．函数f（x）=x²在区间[0，2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C．2

  D． 3 2
  组卷：782引用：17难度：0.8

  解析

• 3．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（　　）种排法？

  A．72

  B．36

  C．24

  D．12
  组卷：723引用：8难度：0.7

  解析

• 4．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  =

  1

  （a＞0）的一条渐近线方程为y=x,则C的离心率为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  组卷：304引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=-x²，则曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线斜率是（　　）

  A．-2

  B．2

  C．-e

  D．e-2+1
  组卷：253引用：1难度：0.7

  解析

• 6．下列结论中正确的个数为（　　）
  ①y=ln2，则y′=

  1

  2

  ；
  ②y=

  1

  x

  2

  ，则y′|_x=3=-

  2

  27

  
  ③y=2^x，则y′=2^xln2；
  ④y=log₂x,则y′=

  1

  xln

  2

  ．

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：422引用：6难度：0.9

  解析

• 7．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

  A．曲线y=f（x）在点（-2，f（-2））处的切线斜率小于零

  B．函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增

  C．函数f（x）在x=1处取得极大值

  D．函数f（x）在区间（-3，3）内至多有两个零点
  组卷：354引用：6难度：0.8

  解析

三、解答题共4小题，共40分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

• 21．如图，椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．
  （Ⅰ）求该椭圆的离心率；
  （Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的取值范围．
  组卷：400引用：10难度：0.1

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a.
  （1）若a＜1且仅存在两个的整数，使得f（x）＜0，求a的取值范围；
  （2）讨论f（x）零点的个数；
  （3）证明

  ∀

  x

  1

  ，

  x

  2

  ∈

  [

  -

  3

  2

  ，

  +

  ∞

  ）

  ，∀t∈（0，1），有f（tx₁+（1-t）x₂）≤tf（x₁）+（1-t）f（x₂）．
  组卷：304引用：1难度：0.1

  解析