2021-2022学年广东省广州市为明学校高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．化简

  OA

  +

  OC

  -

  OB

  +

  CO

  =（　　）

  A． AB

  B． BA

  C． 0

  D． AC
  组卷：334引用：7难度：0.9

  解析

• 2．已知复数z=

  i

  2

  +

  i

  +i（i为虚数单位），则|z|=（　　）

  A． 5

  B． 2

  C． 5 +1

  D． 10
  组卷：139引用：3难度：0.9

  解析

• 3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'=A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'=2，则这个平面图形的面积是（　　）

  A． 2 2

  B．1

  C． 2

  D． 2 2
  组卷：715引用：29难度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，点P是AB的中点，则

  CB

  •

  CP

  =（　　）

  A． 9 4

  B．4

  C． 9 2

  D．6
  组卷：1048引用：14难度：0.7

  解析

• 5．如图：正三棱锥A-BCD中，∠BAD=30°，侧棱长为2，过点C的平面截得△CB₁D₁．则△CB₁D₁的周长的最小值为（　　）

  A．2

  B． 2 3

  C．4

  D． 2 2
  组卷：347引用：5难度：0.5

  解析

• 6．在△ABC中，若sinB=2sinAcosC，那么△ABC一定是（　　）

  A．等腰直角三角形	B．等腰三角形
  C．直角三角形	D．等边三角形
  组卷：506引用：16难度：0.9

  解析

• 7．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2

  3

  的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（　　）

  A．16

  B．16 3

  C．18 3

  D．21
  组卷：561引用：12难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，矩形EDCF⊥平面ABCD，且AB=BC=DE=2，AD=1．
  （1）求证：AB⊥AE；
  （2）求证：DF∥平面ABE；
  （3）求二面角B-EF-D的正切值．
  组卷：229引用：3难度：0.4

  解析

• 22．某市民公园改造规划平面示意图如图，经规划调研测定，该市民公园占地区域是半径为R的圆面，该圆面的内接四边形ABCD是绿化用地，经测量得边界AB=1百米，BC=CD=2百米，AD=3百米．
  （1）求原绿化用地ABCD的面积和市民公园的占地面积；
  （2）为提高绿化覆盖率，在保留边界AB，BC不动的基础上，对边界CD，AD进行调整，在圆弧ADC上新设一点D′，使改造后新的绿地ABCD′的面积最大，设

  ∠

  ACD

  ′

  =

  θ

  （

  0

  ＜

  θ

  ＜

  2

  3

  π

  ）

  ，将ABCD′的面积用θ表示并求出求最大面积．
  组卷：90引用：2难度：0.6

  解析