人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（26）

一、选择题（共1小题）

• 1．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax²上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

  A．（ 2 ， 2 ）

  B．（2，2）

  C．（ 2 ，2）

  D．（2， 2 ）
  组卷：5893引用：94难度：0.4

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．如图，已知抛物线y=-x²+6x-5．
  （1）若抛物线y=ax²+bx+c与y=-x²+6x-5关于原点O中心对称，求此抛物线的解析式；
  （2）根据（1）的解题结果，合理猜想：直接写出抛物线y=a（x-m）²+n关于原点O中心对称的二次函数解析式（不要求写推导过程）；
  （3）若（1）中抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点M，与x轴交于点A和点B（点A在左），点C是线段AB的中点，求sin∠CMA；
  （4）在（3）的条件下，在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在点P，使△OPA的面积与△MCA的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：224引用：51难度：0.5

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• 3．如图1．已知抛物线y=-

  1

  2

  x²+bx+c与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，A点坐标为（-2，0），B的坐标为（4，0）．直线l过B，C两点．点P是线段BC上的一个动点（点P不与B，C两点重合）．在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与x轴的交点为N．
  （1）①求出抛物线的函数表达式；②直接写出直线l的函数表达式；
  （2）若直线MN把△OBC的面积分成1：3的两部分，求出此时点P的坐标．
  （3）如图2，①连接BM，CM，设△MBC的面积是S，在点P的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
  ②当△MBC的面积最大时，直线MN上另有一动点E，在坐标平面内是否存在点F，使以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：621引用：50难度：0.5

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• 4．如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
  （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
  （2）设△COB沿x轴正方向平移t（0＜t≤3）个单位长度时，△COB与△CDB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
  考生请注意：下面的（3），（4），（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记哟！
  （3）点P是x轴上的一个动点，过点P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
  （4）设点Q是y轴右侧抛物线上异于点B的点，过点Q作QP∥x轴交抛物线于另一点P，过P作PH⊥x轴，垂足为H，过Q作QG⊥x轴，垂足为G，则四边形QPHG为矩形．试探究在点Q运动的过程中矩形QPHG能否成为正方形？若能，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由；
  （5）试探究，在y轴右侧的抛物线上是否存在一点Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：403引用：50难度：0.5

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• 5．如图，抛物线m：y=-

  1

  4

  x²+

  3

  2

  x+4与x轴交于点A、B，顶点为M（3，

  25

  4

  ），将抛物线m绕点B旋转180°得到新的抛物线n,此时A点旋转至E点，M点旋转至D点．
  （1）求A、B点的坐标；
  （2）求抛物线n的解析式；
  （3）若点P是线段ED上一个动点（E点除外），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x,y），△PEF的面积为s,求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；如果s有最大值，请求出s的最大值，如果没有请说明理由；
  （4）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点的距离为直
  径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．
  组卷：165引用：50难度：0.5

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• 6．如图，已知二次函数y=-（x+1）（x-m）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且图象经过点M（2，3）．
  （1）求二次函数的解析式；
  （2）求ABC的面积；
  （3）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标．
  组卷：258引用：52难度：0.5

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• 7．如图，抛物线y=ax²+bx+4的对称轴是直线x=

  3

  2

  ，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为（-1，0）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设△AEC的面积为S₁，△DEC的面积为S₂，求S₁：S₂的值．
  （3）点F坐标为（6，0），连接DF，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值．
  组卷：21引用：50难度：0.5

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• 8．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax²+

  8

  3

  x+c的图象与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点A（-1，0）和点D．
  （1）求二次函数的解析式；
  （2）求△BOD内切圆的面积；
  （3）在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于

  5

  2

  ？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．
  组卷：265引用：50难度：0.5

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• 9．已知二次函数y=x²-2mx+m²-1．
  （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
  （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
  （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
  组卷：2913引用：87难度：0.5

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• 10．如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
  （1）求点A的坐标；
  （2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
  组卷：1287引用：53难度：0.5

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二、解答题（共29小题）

• 29．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-

  4

  27

  x²+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．
  
  （1）点B的坐标为

  ，点C的坐标为

  ；
  （2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n.
  ①如图2，当n＜

  1

  2

  AC时，求证：△PAM≌△NCP；
  ②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；
  ③若PM的长为

  97

  ，当二次函数y=-

  4

  27

  x²+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．
  组卷：3097引用：50难度：0.1

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• 30．已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（

  3

  2

  ，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）当BQ=

  1

  2

  AP时，求t的值；
  （3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：4204引用：52难度：0.1

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