人教五四新版九年级（上）中考题同步试卷：28.3 二次函数与实际问题（19）

一、填空题（共1小题）

• 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax²上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n=

  （用含a的代数式表示）．
  组卷：2791引用：55难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
  （1）求这个二次函数的表达式．
  （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
  组卷：7248引用：149难度：0.3

  解析

• 3．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
  组卷：1289引用：76难度：0.1

  解析

• 4．如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-

  5

  2

  ）三点．
  （Ⅰ）求抛物线的解析式；
  （Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
  （Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：3183引用：92难度：0.3

  解析

• 5．如图，二次函数y=

  1

  2

  x²+bx-

  3

  2

  的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
  （1）请直接写出点D的坐标：

  ；
  （2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
  （3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：2995引用：69难度：0.1

  解析

• 6．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）求点D的坐标；
  （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2278引用：72难度：0.1

  解析

• 7．综合与探究：
  如图，抛物线y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x-4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
  （1）求点A，B，C的坐标．
  （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
  （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2411引用：63难度：0.1

  解析

• 8．如图，抛物线y=ax²+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）求证：AO=AM；
  （3）探究：
  ①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时

  1

  AM

  +

  1

  BN

  的值；
  ②试说明无论k取何值，

  1

  AM

  +

  1

  BN

  的值都等于同一个常数．
  组卷：1995引用：61难度：0.3

  解析

• 9．如图，已知抛物线y=

  1

  2

  x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a,12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
  （1）求抛物线的函数解析式；
  （2）若点C为OA的中点，求BC的长；
  （3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m,n），求出m,n之间的关系式．
  （4）将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P，求出P点坐标．
  组卷：1162引用：57难度：0.1

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• 10．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
  （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
  组卷：1971引用：74难度：0.1

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二、解答题（共29小题）

• 29．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l,l与x轴交于点H．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
  （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S．
  ①求S与m的函数关系式；
  ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
  
  组卷：1566引用：58难度：0.1

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• 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx-3（a,b是常数）的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．
  （1）求a和b的值；
  （2）求t的取值范围；
  （3）若∠PCQ=90°，求t的值．
  组卷：763引用：49难度：0.1

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