2022-2023学年江西省景德镇一中19班高二（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．（x²-x+1）⁵的展开式中，x⁵的系数为（　　）

  A．51

  B．50

  C．-51

  D．-50
  组卷：160引用：3难度：0.6

  解析

• 2．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为

  3

  ，此时四面体ABCD外接球表面积为（　　）

  A．7π

  B．19π

  C． 7 6 7 π

  D． 19 6 19 π
  组卷：717引用：22难度：0.7

  解析

• 3．已知P为抛物线x²=12y上一个动点，Q为圆（x-4）²+y²=1，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：141引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（-log₂5.1），b=g（2^0.8），c=g（3），则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＜b＜c

  B．c＜b＜a

  C．b＜a＜c

  D．b＜c＜a
  组卷：6443引用：31难度：0.9

  解析

• 5．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（　　）

  A．135

  B．172

  C．189

  D．216
  组卷：1499引用：5难度：0.7

  解析

• 6．在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足

  AM

  =x

  AB

  +y

  AC

  +（1-x-y）

  AD

  ，点N满足

  DN

  =

  λ

  DA

  -（λ-1）

  DB

  ，当AM、DN最短时，

  AM

  •

  MN

  =（　　）

  A．- 1 3

  B． 1 3

  C．- 2 3

  D． 2 3
  组卷：345引用：13难度：0.6

  解析

• 7．如图，椭圆C₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、焦点分别为F₁、F₂，点A是C₁上一点，过F₁的直线交C₁于B，C两点，且∠F₁AF₂=

  π

  3

  ，AF₂∥BC，|AF₁|=|BC|，则椭圆C₁的离心率为（　　）

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 3 3

  D． 2 2
  组卷：281引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知双曲线方程为

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1，F₁，F₂为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足

  P

  F

  1

  •

  P

  F

  2

  =0，|PF₁||PF₂|=6．
  （1）求双曲线的标准方程；
  （2）过点F₂作直线l交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q（m,0）使得

  QA

  •

  QB

  为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
  组卷：1166引用：9难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=axlnx,a∈R．
  （1）当a=1时，
  ①求f（x）的极值；
  ②若对任意的x≥e都有f（x）≥

  m

  x

  e

  m

  x

  ，m＞0，求m的最大值；
  （2）若函数g（x）=f（x）+x²有且只有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂＞e²．
  组卷：115引用：4难度：0.3

  解析