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2022年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷（一）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={0，1}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
组卷：1609引用：6难度：0.7
解析
2．已知i是虚数单位，若复数z满足z（1-i）=（1+i）²，则|z|=（　　）
A．1 B．
2
C．2 D．
3
组卷：105引用：1难度：0.7
解析
3．已知函数
f
（
x
）
=
x
（
a
•
3
x
-
3
-
x
a
）
，则“a=1”是“函数f（x）为偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：140引用：4难度：0.7
解析
4．已知
sin
（
π
+
θ
2
）
=
4
5
，
sin
（
π
2
+
θ
2
）
=
3
5
，则角θ所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：478引用：5难度：0.8
解析
5．已知函数f（x）=
lnx
-
1
x
，
x
＞
0
x
2
+
2
x
,
x
≤
0
，则函数y=f[f（x）+1]的零点个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
组卷：517引用：7难度：0.6
解析
6．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为P₁Q₁，P₂Q₂，…，P₅Q₅，且BQ₁=16米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ₅=（　　）
A．40.5米 B．54米 C．81米 D．121.5米
组卷：108引用：4难度：0.7
解析
7．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线AF₁与C的左支交于点B，且|AB|=|AF₂|．设C的离心率为e,则e²=（　　）
A．
4
-
2
2
B．
5
-
2
2
C．
4
+
2
2
D．
5
+
2
2
组卷：200引用：3难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞2＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为
2
5
5
，△AOF的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于M，N两点过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NQ⊥x轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于
5
16
，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
组卷：194引用：4难度：0.4
解析
22．设a,b为实数，且a＞1，函数f（x）=a^x-bx+e²（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意b＞2e²，函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当a=e时，证明：对任意b＞e⁴，函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，（x₂＞x₁），满足x₂＞
blnb
2
e
2
x₁+
e
2
b
．
（注：e=2.71828...是自然对数的底数）
组卷：188引用：2难度：0.2
解析