2019-2020学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（11）

一、选择题（共9小题；共45分）

• 1．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（　　）

  A．4β+4cosβ

  B．4β+4sinβ

  C．2β+2cosβ

  D．2β+2sinβ
  组卷：3598引用：17难度：0.4

  解析

• 2．已知等比数列{a_n}的公比为q,记b_n=a_m（n-1）+1+a_m（n-1）+2+…+a_m（n-1）+m，c_n=a_m（n-1）+1•a_m（n-1）+2•…•a_m（n-1）+m，（m,n∈N^*），则以下结论一定正确的是（　　）

  A．数列{bn}为等差数列，公差为qm

  B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m

  C．数列{cn}为等比数列，公比为 q m 2

  D．数列{cn}为等比数列，公比为 q m m
  组卷：1935引用：29难度：0.5

  解析

• 3．已知点A的坐标为（4

  3

  ，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转

  π

  3

  至OB，则点B的纵坐标为（　　）

  A． 3 3 2

  B． 5 3 2

  C． 11 2

  D． 13 2
  组卷：7938引用：25难度：0.5

  解析

• 4．若函数f（x）=x³+ax²+bx+c有极值点x₁，x₂，且x1＜x2，f（x₁）=x₁，则关于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的不同实根个数是（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：4407引用：46难度：0.7

  解析

• 5．在平面上，

  A

  B

  1

  ⊥

  A

  B

  2

  ，|

  O

  B

  1

  |=|

  O

  B

  2

  |=1，

  AP

  =

  A

  B

  1

  +

  A

  B

  2

  ．若|

  OP

  |＜

  1

  2

  ，则|

  OA

  |的取值范围是（　　）

  A．（0， 5 2 ]

  B．（ 5 2 ， 7 2 ]

  C．（ 5 2 ， 2 ]

  D．（ 7 2 ， 2 ]
  组卷：5073引用：20难度：0.5

  解析

• 6．在平面内，定点A，B，C，D满足

  |

  DA

  |

  =

  |

  DB

  |

  =

  |

  DC

  |

  ，

  DA

  •

  DB

  =

  DB

  •

  DC

  =

  DC

  •

  DA

  =-2，动点P，M满足

  |

  AP

  |

  =1，

  PM

  =

  MC

  ，则|

  BM

  |²的最大值是（　　）

  A． 43 4

  B． 49 4

  C． 37 + 6 3 4

  D． 37 + 2 33 4
  组卷：3718引用：15难度：0.5

  解析

三、解答题（共5小题；共65分）

• 19．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（S_n+n+1）（n∈N*），令b_n=a_n+1．
  （1）求证：{b_n}是等比数列；
  （2）记数列{nb_n}的前n项和为T_n，求T_n；
  （3）求证：

  1

  2

  -

  1

  2

  ×

  3

  n

  ＜

  1

  a

  1

  +

  1

  a

  2

  +

  1

  a

  3

  +…+

  1

  a

  n

  ＜

  11

  16

  ．
  组卷：499引用：8难度：0.1

  解析

• 20．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x⁴+3x³-3x²-6x+a在区间（1，2）内有一个零点x₀，g（x）为f（x）的导函数．
  （Ⅰ）求g（x）的单调区间；
  （Ⅱ）设m∈[1，x₀）∪（x₀，2]，函数h（x）=g（x）（m-x₀）-f（m），求证：h（m）h（x₀）＜0；
  （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q,且

  p

  q

  ∈[1，x₀）∪（x₀，2]，满足|

  p

  q

  -x₀|≥

  1

  A

  q

  4

  ．
  组卷：3683引用：2难度：0.1

  解析