2022-2023学年湖南师大附中高三（上）第二次月考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．若以集合{a,b,c,d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（　　）

  A．梯形

  B．平行四边形

  C．菱形

  D．矩形
  组卷：1644引用：7难度：0.9

  解析

• 2．在复平面内，复数z所对应的点的坐标为（1，-1），则z

  •

  z

  =（　　）

  A．2

  B．-2i

  C． 2

  D．2i
  组卷：244引用：8难度：0.8

  解析

• 3．设点A，B，C不共线，则“

  AB

  与

  AC

  的夹角为锐角”是“|

  AB

  +

  AC

  |＞|

  BC

  |”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：4063引用：31难度：0.7

  解析

• 4．函数f（x）=（

  2

  1

  +

  e

  x

  -1）sinx图象的大致形状是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：3169引用：33难度：0.9

  解析

• 5．圆内接四边形ABCD中，AD=2，CD=4，BD是圆的直径，则

  AC

  •

  BD

  =（　　）

  A．12

  B．-12

  C．20

  D．-20
  组卷：319引用：3难度：0.6

  解析

• 6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是边长为

  2

  3

  的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P-ABM的外接球．若D是球O上一点，则三棱锥D-PAC的体积的最大值是（　　）

  A．2

  B． 2 3

  C． 7 3 3

  D． 8 3 3
  组卷：159引用：6难度：0.6

  解析

• 7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤

  π

  2

  ），已知（-

  π

  6

  ，0）为f（x）图象的一个对称中心，直线x=

  13

  π

  12

  为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在[

  13

  π

  12

  ，

  19

  π

  12

  ]上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S，则S的值为（　　）

  A． 8 5

  B． 12 5

  C． 16 5

  D． 18 5
  组卷：782引用：11难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知

  A

  （

  -

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  B

  （

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，直线PA，PB的斜率之积为

  -

  3

  4

  ，记动点P的轨迹为曲线C．
  （1）求C的方程；
  （2）直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若直线OM，ON的斜率之积为

  -

  3

  4

  ，证明：△MON的面积为定值．
  组卷：221引用：7难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=xlnx,g（x）=x²-1．
  （1）求证：当a≥

  1

  2

  时，|f（x）|≤a|g（x）|；
  （2）已知函数h（x）=|f（x）|-b有3个不同的零点x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），
  （i）求证：

  x

  2

  1

  +

  x

  2

  2

  ＞

  2

  e

  2

  ；
  （ii）求证：

  1

  +

  2

  b

  -

  1

  -

  2

  b

  ＜x₃-x₂＜be（e=2.71828⋯是自然对数的底数）．
  组卷：179引用：6难度：0.6

  解析