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2022-2023学年北京大学附中元培学院高一（上）期末数学试卷

发布：2025/1/5 19:0:3

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜2}，若A∩B=（　　）
A．{x|x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|-1＜x＜2}
组卷：331引用：7难度：0.8
解析
2．下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．
f
（
x
）
=
x
1
2
B．f（x）=x² C．
f
（
x
）
=
1
x
D．f（x）=x³
组卷：179引用：3难度：0.7
解析
3．“sinα=1”是“
α
=
π
2
”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
组卷：64引用：4难度：0.9
解析
4．下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b,则ac²＞bc² B．若a²＞b²，则a＞b
C．若a＞b,c＜0，则a+c＜b+c D．若
a
＜
b
，则a＜b
组卷：654引用：11难度：0.9
解析
5．已知|
a
|=|
b
|=2，
a
•
b
=2，则|
a
-
b
|=（　　）
A．1 B．
3
C．2 D．
3
或2
组卷：146引用：8难度：0.7
解析
6．已知a=4^0.1，b=2^0.6，c=log₄0.6，则a,b,c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
组卷：553引用：8难度：0.8
解析
7．已知平面向量
a
，
b
是非零向量，|
a
|=2，
a
⊥（
a
+2
b
），则向量
b
在向量
a
方向上的投影为（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
组卷：401引用：11难度：0.7
解析

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三、解答题：本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

20．在△ABC中，D、E为边BC、AC上的点，且满足
|
BD
|
|
BC
|
=
m
,
|
CE
|
|
EA
|
=n.
（1）若△ABC为边长为2的等边三角形，m=
1
2
，n=1，求
AD
•
BE
；
（2）若m=
1
3
，
n
=
1
2
，
DE
=
x
AB
+
y
AC
，求x+y；
（3）若∠A=
π
3
，AB=2，AC=1，m=n,求
AD
•
BE
的最大值；
（4）若将“D、E为边BC、AC上的点”改为“D、E在△ABC的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则
AD
•
BE
是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围．（不需要说明理由）
组卷：332引用：1难度：0.3
解析
21．设函数y=f（x）的定义域为M，且区间I⊆M，对任意x₁，x₂∈I且x₁＜x₂，记Δx=x₂-x₁，Δy=f（x₂）-f（x₁）．若Δy+Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质A；若Δy-Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质B；若Δy•Δx＞0，则称f（x）在I上具有性质C；若
Δ
y
Δ
x
＞0，则称f（x）在I上具有性质D．
（Ⅰ）记：①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件
则f（x）在I上具有性质A是f（x）在I上单调递增的
（填正确选项的序号）；f（x）在I上具有性质B是f（x）在I上单调递增的
（填正确选项的序号）；f（x）在I上具有性质C是f（x）在I上单调递增的
（填正确选项的序号）；
（Ⅱ）若f（x）=ax²+1在[1，+∞）满足性质B，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=
1
|
x
|
在区间[m,n]上恰满足性质A、性质B、性质C、性质D中的一个，直接写出实数m的最小值．
组卷：291引用：5难度：0.5
解析