2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应位置填写结果．

• 1．用集合符号表述语句“平面α经过直线l”：

  ．
  组卷：84引用：5难度：0.8

  解析

• 2．椭圆

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  6

  =

  1

  的焦点坐标为

  ．
  组卷：37引用：4难度：0.7

  解析

• 3．双曲线

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  =

  1

  的两条渐近线的直线方程是

  ．
  组卷：58引用：1难度：0.9

  解析

• 4．过圆x²+y²=5上一点M（1，2）的圆的切线方程为

   

  ．
  组卷：32引用：6难度：0.5

  解析

• 5．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α=70°，则β=

  ．
  组卷：15引用：5难度：0.7

  解析

• 6．如图是水平放置的△AOB的斜二测直观图，其中O′B′=2，∠A′B′O′=90°，则在△AOB中，AB=

  ．
  组卷：40引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知△ABC所在平面外一点P，且PA，PB，PC两两垂直，则点P在平面ABC内的射影应为△ABC的

  心．
  组卷：220引用：2难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

• 20．已知以F（1，0）为焦点的抛物线C₁的顶点为原点，点P是抛物线C₁的准线上任意一点，过点P作抛物线C₁的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，设直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．
  （1）求抛物线C₁的标准方程；
  （2）若点P的纵坐标为1，计算k₁•k₂的值；
  （3）求证：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．
  组卷：132引用：1难度：0.6

  解析

• 21．17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形LF₂KQ．带槽杆QF₁长为

  2

  2

  ，点F₁，F₂间的距离为2，转动杆QF₁一周的过程中始终有|QE|=|EF₂|．点M在线段F₁F₂的延长线上，且|MF₂|=1．
  （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程；
  （2）过点F₂的直线l₁与Γ交于A，B两点．记直线MA，MB的斜率为k₁，k₂，证明：k₁+k₂为定值；
  （3）过点M作直线l₂垂直于直线F₁F₂，在l₂上任取一点N，对于（2）中的A，B两点，试证明：直线NA，NF₂，NB的斜率成等差数列．
  组卷：218引用：3难度：0.1

  解析