2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．已知i是虚数单位，复数z=（x²-4）+（x+2）i是纯虚数，则实数x的值为（　　）

  A．2

  B．-2

  C．±2

  D．4
  组卷：245引用：11难度：0.7

  解析

• 2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）

  A．a＞b＞ a + b 2 ＞ ab	B．a＞ a + b 2 ＞ ab ＞b
  C．a＞ a + b 2 ＞b＞ ab	D．a＞ a + b 2 ≥ ab ＞b
  组卷：170引用：5难度：0.9

  解析

• 3．平面四边形ABCD中

  AB

  +

  CD

  =

  0

  ，

  （

  AB

  -

  AD

  ）

  •

  AC

  =

  0

  ，则四边形ABCD是（　　）

  A．矩形

  B．菱形

  C．正方形

  D．梯形
  组卷：168引用：18难度：0.9

  解析

• 4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（　　）

  A． 5 1 + π 2 4 π

  B． 5 1 + 4 π 2 4 π

  C． 5 1 + π 2 2 π

  D． 5 1 + 4 π 2 2 π
  组卷：327引用：12难度：0.7

  解析

• 5．已知a,b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（　　）

  A．若a∥b,b∥α，则a∥α	B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
  C．若α⊥β，a⊄α，a⊥β，则a∥α	D．若b⊥α，a∥b,β⊥α，则a∥β
  组卷：121引用：4难度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a-c=bcosC-bcosA，则△ABC的形状为（　　）

  A．等腰三角形

  B．直角三角形

  C．等腰三角形或直角三角形

  D．等腰直角三角形
  组卷：451引用：9难度：0.6

  解析

• 7．设f（x）=

  （ x - a ） 2 ， x ≤ 0

  x + 1 x + a , x ＞ 0

  ，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（　　）

  A．[-1，2]

  B．[-1，0]

  C．[1，2]

  D．[0，2]
  组卷：761引用：13难度：0.7

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

• 21．向量

  a

  =（2，2），向量

  b

  与向量

  a

  的夹角为

  3

  π

  4

  ，且

  a

  •

  b

  =-2，
  （1）求向量

  b

  ；
  （2）若

  t

  =（1，0），且

  b

  ⊥

  t

  ，

  c

  =（cosA，

  2

  co

  s

  2

  C

  2

  ），其中A，B，C是△ABC的内角，且

  B

  =

  π

  3

  ，试求|

  b

  +

  c

  |的取值范围．
  组卷：93引用：2难度：0.6

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• 22．如图①所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连结PB，PC，得到图②的四棱锥P-ABCM．
  
  （1）求四棱锥P-ABCM的体积的最大值；
  （2）若棱PB的中点为N，求CN的长；
  （3）设P-AM-D的大小为θ，若

  θ

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ]

  ，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．
  组卷：710引用：18难度：0.3

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