2022-2023学年上海中学高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）

• 1．已知直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为-2，则l的方程

   

  ．
  组卷：175引用：1难度：0.9

  解析

• 2．若动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）分别在直线l₁：x+y-7=0和l₂：x+y-5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为

   

  ．
  组卷：275引用：3难度：0.7

  解析

• 3．点M与两个定点O（0，0），P（2，0）的距离的比为3：1，则点M的轨迹方程为

  ．
  组卷：42引用：2难度：0.6

  解析

• 4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是

  ．
  组卷：2815引用：39难度：0.5

  解析

• 5．将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有

  种排法．
  组卷：40引用：1难度：0.7

  解析

• 6．点A（1，2），点B（-2，-4），点P在坐标轴上，且∠APB为直角，这样的点P有

  个．
  组卷：36引用：1难度：0.7

  解析

• 7．二项式

  （

  x

  3

  +

  1

  x

  2

  ）

  n

  的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

  ．
  组卷：126引用：5难度：0.5

  解析

三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）

• 20．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
  

  直径mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
  件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

  经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值，用样本估计线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；
  （2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6827；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9545；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9973．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲：仅满足其中两个，则等级为乙：若仅满足其中一个，则等级为丙：若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级并说明理由．
  组卷：31引用：1难度：0.6

  解析

• 21．（1）已知k、n为正整数，k≤n,求证：

  k

  C

  k

  n

  =

  n

  C

  k

  -

  1

  n

  -

  1

  ：
  （2）已知k、n为正整数，求证：

  C

  n

  n

  +

  C

  n

  n

  +

  1

  +

  C

  n

  n

  +

  2

  +

  …

  +

  C

  n

  n

  +

  k

  =

  C

  n

  +

  1

  n

  +

  k

  +

  1

  ；
  （3）m、n为正整数，n≥2，求证：

  1

  n

  C

  n

  -

  1

  n

  -

  1

  +

  1

  n

  +

  1

  C

  n

  -

  1

  n

  +

  1

  n

  +

  2

  C

  n

  -

  1

  n

  +

  1

  +

  …

  +

  1

  n

  +

  m

  C

  n

  -

  1

  n

  +

  m

  -

  1

  ＜

  n

  C

  n

  n

  +

  m

  （

  n

  +

  m

  ）

  （

  n

  -

  1

  ）

  ．
  组卷：35引用：1难度：0.5

  解析