2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．复数

  1

  1

  -

  i

  的虚部是（　　）

  A．- 1 2

  B． 1 2

  C． 1 2 i

  D． - 1 2 i
  组卷：20引用：3难度：0.9

  解析

• 2．下列函数是奇函数且在区间（0，1）上是增函数的是（　　）

  A．y=sinx

  B．y=3-x

  C．y=x2

  D． y = 1 x
  组卷：178引用：5难度：0.8

  解析

• 3．经过简单随机抽样获得的样本数据为x₁，x₂，⋯，x_n，且数据x₁，x₂，⋯，x_n的平均数为

  x

  ，方差为s²，则下列说法正确的是（　　）

  A．若数据x1，x2，⋯，xn，方差s2=0，则所有的数据xi（i=1，2，⋯，n）都为0

  B．若数据x1，x2，⋯，xn，的平均数为 x = 3 ，则数据yi=2xi+1（i=1，2，⋯，n）的平均数为6

  C．若数据x1，x2，⋯，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90

  D．若数据x1，x2，⋯，xn，的方差为s2=3，则数据yi=2xi+1（i=1，2，⋯，n）的方差为6
  组卷：177引用：3难度：0.8

  解析

• 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知

  b

  2

  +

  c

  2

  -

  a

  2

  ab

  =

  2

  sin

  B

  -

  sin

  A

  sin

  A

  ．则角C等于（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 4

  D． 2 π 3
  组卷：402引用：2难度：0.7

  解析

• 5．四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（　　）

  A．内心

  B．外心

  C．垂心

  D．重心
  组卷：151引用：9难度：0.9

  解析

• 6．在Rt△ABC中，C为直角顶点，BC=4，则

  BC

  •

  BA

  的值为（　　）

  A．4	B．8
  C．16	D．缺少条件，做不出来
  组卷：71引用：1难度：0.7

  解析

• 7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC，已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为

  1

  4

  ，记∠ABC=α，则cos²α+sin2α=（　　）

  A． 3 5

  B． 4 5

  C．1

  D． 8 5
  组卷：406引用：3难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．设函数f（x）的定义域为I，如果存在区间[m,n]⊆I，使得f（x）在区间[m,n]上是单调函数且值域为[m,n]，那么称f（x）在区间[m,n]上具有性质P．
  （Ⅰ）分别判断函数f（x）=cosx和g（x）=x³在区间[-1，1]上是否具有性质P；（不需要解答过程）
  （Ⅱ）若函数

  h

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  在区间[m,n]上具有性质P，
  （ⅰ）求实数a的取值范围；
  （ⅱ）求n-m的最大值．
  组卷：200引用：2难度：0.4

  解析

• 22．如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km,OB=3

  3

  km,∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．
  （1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；
  （2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
  组卷：305引用：8难度：0.3

  解析