2010年数学奥林匹克模拟试卷（11）

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）

• 1．某校学生100人参加数学竞赛，其中至少有女生9人，又知参赛者中任何10人中至少有1名男生，则参赛男生人数为（　　）

  A．89

  B．91

  C．82

  D．63
  组卷：106引用：2难度：0.9

  解析

• 2．方程组

  xy + yz = 63

  xz + yz = 23

  的正整数解的组数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：401引用：5难度：0.5

  解析

• 3．在△ABC中，AB=AC=7，BC=4，点M在AB上，且BM=

  1

  3

  AB，过M作EF⊥BC，交BC于E，交CA延长线于F，则EF的长为（　　）

  A． 5 5

  B． 5 33 3

  C． 4 5

  D． 6 5
  组卷：103引用：1难度：0.9

  解析

• 4．若方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（　　）

  A．0≤m≤1

  B．m≥ 3 4

  C． 3 4 ＜m≤1

  D． 3 4 ≤m≤1
  组卷：1435引用：14难度：0.6

  解析

三、解答题（共3小题，满分56分）

• 12．以a,b,c为三边的直角三角形的周长的数值与面积的数值相等，且a,b,c为自然数，求证：关于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0无实数根．
  组卷：88引用：1难度：0.5

  解析

• 13．是否可能将正整数1，2，3，…64分别填入8×8的正方形的64个小方格内，使得形如图（方向可以任意转置）的任意四个小方格内数总能被5整除，试说明理由．
  组卷：79引用：1难度：0.1

  解析