2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．如图所示，在正方体中，异面直线AB与CD所成的角为

  ．
  组卷：265引用：7难度：0.8

  解析

• 2．计算：

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  （

  1

  3

  ）

  i

  -

  1

  =

  ．
  组卷：65引用：5难度：0.8

  解析

• 3．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为

   

  ．
  组卷：105引用：6难度：0.9

  解析

• 4．在三棱锥P-ABC中，点P在底面ABC内的射影为Q，若PA=PB=PC，则点Q定是△ABC的

  心．
  组卷：160引用：3难度：0.7

  解析

• 5．设x、y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  2

  ，-

  4

  ，

  2

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，则x+y的值为

  ．
  组卷：187引用：8难度：0.8

  解析

• 6．已知数列{a_n}的前n项和

  S

  n

  =

  n

  2

  -

  2

  n

  +

  1

  ，则a₅-a₁=

  ．
  组卷：67引用：3难度：0.7

  解析

• 7．正三棱台ABC-A'B'C'上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为

  ．
  组卷：69引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．

• 20．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=

  2

  5

  ，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使得平面A₁DE⊥平面BCED，如图2．
  
  （1）求证：A₁O⊥BD；
  （2）求直线A₁C和平面A₁BD所成角的正弦值；
  （3）线段A₁C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为

  5

  3

  ？若存在，求出

  A

  1

  F

  A

  1

  C

  的值；若不存在，说明理由．
  组卷：123引用：4难度：0.5

  解析

• 21．已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*），a₁=4．
  （1）证明：数列{

  a

  n

  2

  n

  }是等差数列；
  （2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围；
  （3）令b_n=

  a

  n

  2

  n

  ，是否存在k∈N*，使得

  b

  k

  b

  k

  +

  1

  +

  16

  为数列{b_n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：119引用：2难度：0.5

  解析