2023年湖南省长沙实验中学高考数学三模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．若集合A={x∈Z|4x-x²＞0}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B的个数为（　　）

  A．2

  B．4

  C．8

  D．16
  组卷：209引用：5难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z满足（1-i）z=2i,则复数z的虚部为（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-i

  D．i
  组卷：51引用：2难度：0.8

  解析

• 3．函数y=x（sinx-sin2x）的部分图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：236引用：11难度：0.7

  解析

• 4．

  （

  2

  x

  -

  1

  x

  ）

  6

  的展开式中常数项是（　　）

  A．-160

  B．-20

  C．20

  D．160
  组卷：94引用：7难度：0.7

  解析

• 5．已知向量

  a

  =（2，1），

  b

  =（-1，3），则向量

  a

  在

  b

  方向上的投影向量为（　　）

  A． 1 10 b

  B． - 1 10 b

  C． 1 10 b

  D． - 1 10 b
  组卷：165引用：3难度：0.8

  解析

• 6．如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，

  AG

  =

  2

  GM

  ，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，

  AB

  =

  x

  AP

  （

  x

  ＞

  0

  ）

  ，

  AC

  =

  y

  AQ

  （

  y

  ＞

  0

  ）

  ，则

  4

  x

  +

  1

  y

  +

  1

  的最小值为（　　）．

  A． 3 4

  B． 9 4

  C．3

  D．9
  组卷：1171引用：7难度：0.5

  解析

• 7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为（　　）（cos10°≈0.985）

  A．49.25 m

  B．50.76 m

  C．56.74 m

  D．58.60 m
  组卷：755引用：25难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤

• 21．已知P为圆C：x²+y²-2x-15=0上一动点，点N（-1，0），线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
  （1）求点Q的轨迹方程；
  （2）点M在圆x²+y²=3上，且M在第一象限，过点M作圆x²+y²=3的切线交Q点轨迹于A，B两点，问△ABC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
  组卷：90引用：1难度：0.6

  解析

• 22．已知函数h（x）=x-alnx（a∈R）．
  （1）若h（x）有两个零点，a的取值范围；
  （2）若方程xe^x-a（lnx+x）=0有两个实根x₁，x₂，且x₁≠x₂，证明：

  e

  x

  1

  +

  x

  2

  ＞

  e

  2

  x

  1

  x

  2

  ．
  组卷：363引用：6难度：0.5

  解析