华师大新版九年级（下）中考题单元试卷：第26章 二次函数（18）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
  
  （1）求直线AD的解析式；
  （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
  （3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．
  组卷：5021引用：52难度：0.5

  解析

• 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．
  （1）∠OBA=

  °．
  （2）求抛物线的函数表达式．
  （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
  组卷：2336引用：52难度：0.5

  解析

• 3．如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x²的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m,n（m＜0，n＞0）．
  （1）当m=-1，n=4时，k=

  ，b=

  ；
  当m=-2，n=3时，k=

  ，b=

  ；
  （2）根据（1）中的结果，用含m,n的代数式分别表示k与b,并证明你的结论；
  （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
  如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
  ①当m=-3，n＞3时，求

  S

  △

  ACO

  S

  四边形

  AOED

  的值（用含n的代数式表示）；
  ②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为

  ；
  当四边形AOED为正方形时，m=

  ，n=

  ．
  
  组卷：1894引用：50难度：0.5

  解析

• 4．抛物线y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
  （1）求点A，B，C的坐标；
  （2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
  ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，

  1

  OP

  +

  1

  ED

  的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
  ②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2345引用：53难度：0.5

  解析

• 5．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-x²+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=

  1

  2

  x刻画．
  （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
  （2）小球的落点是A，求点A的坐标；
  （3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
  （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
  组卷：3296引用：64难度：0.5

  解析

• 6．在平面直角坐标系中，已知y=-

  1

  2

  x²+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
  （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
  （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为

  2

  时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
  （3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：1988引用：51难度：0.5

  解析

• 7．如图，已知抛物线y=-

  1

  2

  x²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
  （1）直接写出抛物线的解析式：

  ；
  （2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
  （3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：4262引用：61难度：0.5

  解析

• 8．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D的坐标为（1，-

  9

  2

  ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m.
  （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
  （2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；
  （3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2180引用：51难度：0.5

  解析

• 9．已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
  （1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
  （2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
  ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
  ②设动点A的坐标为（a,b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
  组卷：1620引用：53难度：0.5

  解析

• 10．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三点．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）若点P（t,0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
  组卷：2580引用：52难度：0.5

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

  2

  3

  x²-

  4

  3

  x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．
  （1）填空：点A的坐标为（

   

  ，

   

  ），点B的坐标为（

   

  ，

   

  ），点C的坐标为（

   

  ，

   

  ），点D的坐标为（

   

  ，

   

  ）；
  （2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
  ①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；
  ②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
  ③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．
  
  组卷：3049引用：50难度：0.5

  解析

• 30．如图，已知二次函数y=ax²+

  3

  2

  x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
  （1）请直接写出二次函数y=ax²+

  3

  2

  x+c的表达式；
  （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
  （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
  （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
  
  组卷：4837引用：62难度：0.5

  解析