2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知复数

  z

  =

  1

  -

  2

  i

  i

  （i是虚数单位），则z的虚部是

  ．
  组卷：35引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知3sinα=cosα，则tan（π-α）的值是

  ．
  组卷：196引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是

  ．
  组卷：62引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知两点P（3，4），Q（-5，6），以PQ为直径的圆的标准方程为

  ．
  组卷：111引用：3难度：0.8

  解析

• 5．已知向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  上的投影向量的坐标为

  ．
  组卷：24引用：1难度：0.8

  解析

• 6．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于

  ．
  组卷：151引用：4难度：0.8

  解析

• 7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为

  ．
  组卷：203引用：12难度：0.7

  解析

三、解答题（本题共5道题，满分78分）

• 20．已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  过点

  A

  （

  3

  ，

  13

  2

  ）

  ，且Γ的左焦点为

  F

  （

  -

  2

  3

  ，

  0

  ）

  ，直线l与Γ交于M，N两点．
  （1）求椭圆Γ的方程；
  （2）若

  MP

  =

  1

  2

  PN

  ，且点P的坐标为（0，1），求直线l的斜率；
  （3）若

  |

  OM

  +

  ON

  |

  =

  4

  ，其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值．
  组卷：69引用：1难度：0.5

  解析

• 21．已知函数

  h

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  λ

  x

  ，其中λ为实数．
  （1）若y=h（x）是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；
  （2）若函数y=h（x）有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；
  （3）记g（x）=h（x）-λx,若p,q（p＜q）为g（x）的两个驻点，当λ在区间

  [

  4

  17

  ，

  2

  5

  ]

  上变化时，求|g（p）-g（q）|的取值范围．
  组卷：139引用：3难度：0.3

  解析