2023-2024学年北京中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题。（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

• 1．方程x（x-1）=0的解是（　　）

  A．x=1

  B．x1=0，x2=1

  C．x=0

  D．x1=0，x2=-1
  组卷：185引用：8难度：0.9

  解析

• 2．关于x的一元二次方程x²+ax+1=0有两个实数根，则a的值可以是（　　）

  A．3

  B．-1

  C．1

  D．0
  组卷：35引用：1难度：0.8

  解析

• 3．将抛物线y=x²向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（　　）

  A．y=（x-3）2

  B．y=（x+3）2

  C．y=x2-3

  D．y=x2+3
  组卷：272引用：11难度：0.9

  解析

• 4．用配方法解方程x²+4x=1，变形后结果正确的是（　　）

  A．（x-2）2=2

  B．（x+2）2=2

  C．（x-2）2=5

  D．（x+2）2=5
  组卷：155引用：19难度：0.6

  解析

• 5．关于二次函数y=-（x-2）²+3，以下说法正确的是（　　）

  A．当x＞-2时，y随x增大而减小

  B．当x＞-2时，y随x增大而增大

  C．当x＞2时，y随x增大而减小

  D．当x＞2时，y随x增大而增大
  组卷：706引用：8难度：0.8

  解析

• 6．已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m²-m的值等于（　　）

  A．1

  B．0

  C．-1

  D．2
  组卷：1019引用：153难度：0.9

  解析

• 7．如图是二次函数y=ax²+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，-0.51），B（2.68，0.54），则方程ax²+bx+c=0的一个解有可能是（　　）

  A．2.18

  B．2.68

  C．-0.51

  D．2.45
  组卷：232引用：3难度：0.7

  解析

• 8．某同学将如图所示的三条水平直线m₁，m₂，m₃的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m₄，m₅，m₆的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y=ax²-2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）

  A．m1，m4

  B．m2，m5

  C．m3，m6

  D．m2，m4
  组卷：1026引用：13难度：0.7

  解析

二、填空题。（每题2分，共16分）

• 9．抛物线y=-3（x-1）²+2的顶点坐标是

  ．
  组卷：673引用：22难度：0.6

  解析

三、解答题。（本题共68分，17题8分，18题4分，19题6分，第20-25题，每小题8分，第26题6分，第27-28题，每题7分）

• 27．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG．
  （1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明；
  （2）若DG=

  2

  DF，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明．
  组卷：1117引用：3难度：0.6

  解析

• 28．定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B．点P为平面内任意一点，若PA=PB，且∠APB≤120°时，称点P为线段AB的“居中点”．特别地，当PA=PB，且∠APB=120°时，又称点P为线段AB的“正居中点”．抛物线y=x²-2

  3

  x与x轴的正半轴交于点M．
  （1）若点C是线段OM的“正居中点”，且在第一象限，则点C的坐标为（

  ，

  ）；
  （2）若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是

  ．
  （3）将射线OM绕点O顺时针旋转30°得到射线m,已知点E在射线m上，若在第四象限内存在点F，点F既是线段OM的“居中点”，又是线段OE的“正居中点”，求此时点E的坐标．
  
  组卷：172引用：2难度：0.3

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