2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）入学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

• 1．已知复数z=1+i（i是虚数单位），则

  z

  2

  +

  2

  z

  -

  1

  =（　　）

  A．2+2i

  B．2-2i

  C．2i

  D．-2i
  组卷：156引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x|x²-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是（　　）

  A．a＜-2

  B．a≤-2

  C．a＞-4

  D．a≤-4
  组卷：644引用：5难度：0.7

  解析

• 3．四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为3

  2

  的正方形，若四棱锥P-ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（　　）

  A．36π

  B．64π

  C．100π

  D．144π
  组卷：144引用：5难度：0.6

  解析

• 4．如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（　　）

  A． 3

  B． 2

  C．1

  D． 3 - 2
  组卷：672引用：13难度：0.7

  解析

• 5．将曲线C₁：

  y

  =

  2

  cos

  （

  2

  x

  -

  π

  6

  ）

  上的点向右平移

  π

  6

  个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的

  1

  2

  ，纵坐标不变，得到曲线C₂，则C₂的方程为（　　）

  A．y=2sin4x	B． y = 2 sin （ 4 x - π 3 ）
  C．y=2sinx	D． y = 2 sin （ x - π 3 ）
  组卷：172引用：2难度：0.7

  解析

• 6．若定义在R的奇函数f（x）在（-∞，0）单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（　　）

  A．[-1，1]∪[3，+∞）

  B．[-3，-1]∪[0，1]

  C．[-1，0]∪[1，+∞）

  D．[-1，0]∪[1，3]
  组卷：600引用：82难度：0.6

  解析

• 7．已知l,b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

  A．若l⊥α，b⊥l,则b∥α

  B．若l,b⊂α，l∥β，b∥β，则α∥β

  C．若l∥α，b⊥β，l∥b,则α⊥β

  D．若α∩β=b,l⊂α，l⊥b,则α⊥β
  组卷：51引用：1难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

• 21．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.
  （1）证明：l⊥平面PDC；
  （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点且，

  DA

  =

  m

  PQ

  （m＞0），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
  组卷：203引用：4难度：0.4

  解析

• 22．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a,b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x₁和x₂．
  （1）如果x₁＜2＜x₂＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1；
  （2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．
  组卷：151引用：18难度：0.5

  解析