2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．若集合A={1，3，m}，B={3，5}，A∪B={1，2，3，5}，则实数m=

  ．
  组卷：26引用：2难度：0.8

  解析

• 2．若幂函数的图像经过点

  （

  4

  3

  ，

  3

  ）

  ，则此幂函数的表达式为f（x）=

  ．
  组卷：37引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知复数

  z

  =

  （

  3

  +

  i

  ）

  （

  3

  -

  4

  i

  ）

  1

  -

  3

  i

  （其中i为虚数单位），则

  |

  z

  |

  =

  ．
  组卷：393引用：4难度：0.8

  解析

• 4．已知扇形圆心角α=60°，α所对的弧长l=6π，则该扇形面积为

  ．
  组卷：177引用：12难度：0.7

  解析

• 5．将向量

  OP

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  绕坐标原点O顺时针旋转30°得到

  O

  P

  1

  ，则

  OP

  •

  O

  P

  1

  =

  ．
  组卷：67引用：3难度：0.8

  解析

• 6．已知x＞1，则x+

  2

  x

  -

  1

  的最小值为

  ．
  组卷：34引用：8难度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），则∠C=

  ．
  组卷：632引用：9难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

• 20．已知双曲线Γ：

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  3

  =

  1

  的左、右焦点为F₁、F₂，直线l与双曲线Γ交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
  （1）已知l过F₂且垂直于F₁F₂，求|AB|；
  （2）已知直线l的斜率为-1，且直线l不过点P（4，3），设直线PA、PB的斜率分别为k_PA、k_PB，求k_PA+k_PB的值；
  （3）当直线l过F₂时，直线AF₁交y轴于M，直线BF₁交y轴于N．是否存在直线l,使得

  S

  △

  F

  1

  AB

  =

  S

  △

  F

  1

  MN

  ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
  组卷：75引用：3难度：0.5

  解析

• 21．已知f（x）=x+alnx-1，其中a∈R．
  （1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
  （2）设

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  +

  1

  x

  ，函数y=g（x）在x=x₀时取到最小值g（x₀），求a关于x₀的表达式，并求g（x₀）的最大值；
  （3）当a=-1时，设

  T

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  +

  2

  x

  -

  x

  ，数列{a_n}（n∈N，n≥1）满足a₁∈（0，1），且a_n+1=T（a_n），证明：a_n+1+a_n+3＞2a_n+2（n∈N，n≥1）．
  组卷：213引用：6难度：0.5

  解析