2021-2022学年吉林省长春第二实验中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）

  A．4x+2y=5

  B．4x-2y=5

  C．x+2y=5

  D．x-2y=5
  组卷：2070引用：79难度：0.9

  解析

• 2．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　）

  A． OM =2 OA - OB - OC	B． OM = 1 5 OA + 1 3 OB + 1 2 OC
  C． MA + MB + MC =0	D． OM + OA + OB + OC =0
  组卷：2引用：10难度：0.9

  解析

• 3．已知a∈R，若方程a²x²+（a+2）y²+4x+8y+5a=0表示圆，则此圆心坐标（　　）

  A．（-2，-4）	B． （ - 1 2 ，- 1 ）
  C．（-2，-4）或 （ - 1 2 ，- 1 ）	D．不确定
  组卷：235引用：3难度：0.7

  解析

• 4．如图，空间四边形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN=2NB，则

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b - 1 3 c	B． - 1 3 a + 1 2 b + 2 3 c
  C． 2 3 a - 1 2 b + 1 3 c	D． - 1 2 a + 2 3 b + 1 3 c
  组卷：899引用：10难度：0.7

  解析

• 5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=3，AB=5，AA₁=4，则异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为（　　）

  A． 5 5

  B． 2 5 5

  C． 15 5

  D． 2 2 5
  组卷：288引用：7难度：0.7

  解析

• 6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
  

  A．y=± 3 x

  B．y=± 3 3 x

  C．y=±x

  D．y=±2x
  组卷：200引用：10难度：0.7

  解析

• 7．过抛物线C：y²=4x的焦点F作斜率为1的直线l,交抛物线C于A，B两点，则弦长|AB|=（　　）

  A． 3 2

  B．8

  C．9

  D．12
  组卷：41引用：3难度：0.7

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四、解答题（本共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  2

  2

  ，点A（2，1）在椭圆C上．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M，N，若直线AM与直线AN的斜率k₁，k₂总满足k₁•k₂=-

  1

  2

  ，求证：直线l必过定点．
  组卷：123引用：3难度：0.6

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• 22．已知抛物线E：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，交y轴于点C，O为坐标原点．
  （1）若k_OA+k_OB=4，求直线l的方程；
  （2）线段AB的垂直平分线与直线l,x轴，y轴分别交于点D，M，N，求

  S

  △

  NDC

  S

  △

  FDM

  的最小值．
  组卷：143引用：4难度：0.3

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