2022-2023学年北京十二中高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|x-2≥0}，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）

  A．{1}

  B．{2}

  C．{3}

  D．{2，3}
  组卷：223引用：3难度：0.8

  解析

• 2．由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（　　）

  A．21

  B．18

  C．15

  D．12
  组卷：76引用：2难度：0.7

  解析

• 3．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8，则数列{a_n}的前n项和为（　　）

  A．2n-1	B．16[1-（ 1 2 ）n]
  C．2n-1-1	D．16[1-（ 1 2 ）n-1]
  组卷：72引用：3难度：0.7

  解析

• 4．马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如表
  

  X	1	2	3
  P	？	!	？

  尽管“!”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此求E（X）的结果为（　　）

  A．1.5

  B．2

  C．2.5

  D．不确定
  组卷：79引用：2难度：0.7

  解析

• 5．若函数f（x）=

  1

  3

  x³-

  3

  2

  x²+ax+4在区间（0，4）上不单调，则实数a的取值范围为（　　）

  A． [ - 4 ， 9 4 ）

  B． [ 0 ， 9 4 ]

  C． （ - 4 ， 9 4 ）

  D． （ 0 ， 9 4 ）
  组卷：616引用：4难度：0.5

  解析

• 6．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．
  二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（　　）

  A．3.4尺

  B．4.36尺

  C．5.32尺

  D．21.64尺
  组卷：321引用：3难度：0.8

  解析

• 7．已知函数f（x）=lnx-x+m,若存在

  x

  ∈

  [

  1

  e

  ，

  e

  ]

  ，使f（x）≤0，则m的取值范围是（　　）

  A．（-∞，1]

  B． （ - ∞ ， 1 + 1 e ]

  C．（-∞，e-1]

  D．（-∞，e]
  组卷：200引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

• 22．已知函数f（x）=e^x（ax²-x-1）．
  （1）求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程；
  （2）若f（x）在x=-2处取得极大值，求a的取值范围；
  （3）求证：当a≥1时，f（x）≥-e.
  组卷：132引用：2难度：0.5

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• 23．设数列A：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）．如果a_i∈{1，2，…，n}（i=1，2，…，n），且当i≠j时，a_i≠a_j（1≤i,j≤n），则称数列A具有性质P．对于具有性质P的数列A，定义数列T（A）：t₁，t₂，…，t_n-1，其中t_k=

  1 ， a k ＜ a k + 1 ，

  0 ， a k ＞ a k + 1

  （

  k

  =

  1

  ，

  2

  ，…，

  n

  -

  1

  ）．
  （Ⅰ）对T（A）：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；
  （Ⅱ）对数列E：e₁，e₂，…，e_n-1（n≥2），其中e_i∈{0，1}（i=1，2，…，n-1），证明：存在具有性质P的数列A，使得T（A）与E为同一个数列；
  （Ⅲ）对具有性质P的数列A，若|a₁-a_n|=1（n≥5）且数列T（A）满足t_i=

  0 ， i 为奇数 ，

  1 ， i 为偶数

  （i=1，2，⋯，n-1），证明：这样的数列A有偶数个．
  组卷：305引用：5难度：0.4

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