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2020年浙江省金华一中自主招生数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．1个布袋内装有5个只有颜色不同的小球，其中3个红球，2个白球．任意摸出1个小球，则摸出红球的概率为（　　）
A．
1
6
B．
1
5
C．
2
5
D．
3
5
组卷：46引用：1难度：0.6
解析
2．如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC=40°，则∠ADC=（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
组卷：321引用：7难度：0.5
解析
3．某种药品第一年涨价40%，第二年降价70%调至a元，则第一年涨价前的价格为（　　）
A．
50
21
a
元 B．
21
50
a
元 C．（1-30%）a元 D．
1
1
-
30
%
a
元
组卷：155引用：1难度：0.7
解析
4．已知n!=n×（n-1）×（n-2）×……×2×1，则
1
！
3
！
+
2
！
4
！
+
3
！
5
！
+
…
+
98
！
100
！
的值为（　　）
A．
49
99
B．
50
49
C．
49
100
D．
1
2
组卷：315引用：1难度：0.7
解析
5．如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点，则图2中阴影部分的面积为（　　）
A．ab B．（a+b）² C．（a-b）² D．a²-ab+b²
组卷：100引用：1难度：0.7
解析
6．设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+
1
k
（1-x），当1≤x≤2时，y的最大值是（　　）
A．k B．
2
k
-
1
k
C．
1
k
D．
k
+
1
k
组卷：1048引用：17难度：0.7
解析
7．P为矩形ABCD内一点，PA²+PD²=1000，PB²-PC²=400，则PD的长为（　　）
A．10
3
B．20 C．10
7
D．30
组卷：380引用：1难度：0.5
解析

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三、解答题（共56分）

21．折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm,对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为
cm.
组卷：3493引用：3难度：0.3
解析
22．若四边形的一条对角线将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做孪生分割四边形，这条对角线叫做孪生分割线．

（1）如图1，请找出一个格点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为孪生分割四边形；
（2）孪生分割四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=120°，AC=6，求AD的长；
（3）如图2，A为抛物线y=-x²+4的顶点，抛物线与x轴交于点B，C．在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q．P、Q两点分别以
5
个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t,当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为孪生分割线的孪生分割四边形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
组卷：246引用：1难度：0.2
解析