沪教版高二（下）高考题单元试卷：第12章 圆锥曲线（09）

一、解答题（共30小题）

• 1．圆x²+y²=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．
  （Ⅰ）求点P的坐标；
  （Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+

  3

  交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．
  组卷：995引用：10难度：0.1

  解析

• 2．如图，设椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
  （Ⅰ）已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；
  （Ⅱ）若过原点O的直线l₁与l垂直，证明：点P到直线l₁的距离的最大值为a-b.
  组卷：2373引用：8难度：0.1

  解析

• 3．椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1，（a＞b＞0）的离心率

  2

  2

  ，点（2，

  2

  ）在C上．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
  组卷：8061引用：37难度：0.3

  解析

• 4．设椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=

  3

  2

  |F₁F₂|．
  （Ⅰ）求椭圆的离心率；
  （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
  组卷：2964引用：18难度：0.1

  解析

• 5．如图，已知两条抛物线E₁：y²=2p₁x（p₁＞0）和E₂：y²=2p₂x（p₂＞0），过原点O的两条直线l₁和l₂，l₁与E₁，E₂分别交于A₁、A₂两点，l₂与E₁、E₂分别交于B₁、B₂两点．
  （Ⅰ）证明：A₁B₁∥A₂B₂；
  （Ⅱ）过O作直线l（异于l₁，l₂）与E₁、E₂分别交于C₁、C₂两点．记△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的面积分别为S₁与S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的值．
  组卷：1440引用：6难度：0.1

  解析

• 6．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）经过点（0，

  3

  ），离心率为

  1

  2

  ，左、右焦点分别为F₁（-c,0），F₂（c,0）．
  （Ⅰ）求椭圆的方程；
  （Ⅱ）若直线l：y=-

  1

  2

  x+m与椭圆交于A、B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C、D两点，且满足

  |

  AB

  |

  |

  CD

  |

  =

  5

  3

  4

  ，求直线l的方程．
  组卷：3242引用：42难度：0.1

  解析

• 7．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2，0），离心率为

  6

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
  （Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=-3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
  组卷：1533引用：25难度：0.1

  解析

• 8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=

  5

  4

  |PQ|．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
  组卷：3512引用：18难度：0.1

  解析

• 9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  3

  2

  ，直线y=x被椭圆C截得的线段长为

  4

  10

  5

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
  （i）设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
  （ii）求△OMN面积的最大值．
  组卷：2257引用：21难度：0.1

  解析

• 10．如图，设椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上．DF₁⊥F₁F₂，

  丨

  F

  1

  F

  2

  丨

  丨

  D

  F

  1

  丨

  =2

  2

  ，△DF₁F₂的面积为

  2

  2

  ．
  （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
  （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
  组卷：1496引用：12难度：0.1

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一、解答题（共30小题）

• 29．已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．
  （1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=

  1

  2

  |

  x

  1

  y

  2

  -

  x

  2

  y

  1

  |；
  （2）设l₁：y=kx,

  C

  （

  3

  3

  ，

  3

  3

  ）

  ，S=

  1

  3

  ，求k的值；
  （3）设l₁与l₂的斜率之积为m,求m的值，使得无论l₁和l₂如何变动，面积S保持不变．
  组卷：2232引用：5难度：0.1

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• 30．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
  （Ⅰ）若

  ED

  =

  6

  DF

  ，求k的值；
  （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
  组卷：4272引用：23难度：0.5

  解析