2023年福建省福州市高考数学质检试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={2，3，5，7，8}，B={1，5，a,8，9}，若A∩B={3，5，8}，则a=（　　）

  A．2

  B．3

  C．6

  D．7
  组卷：41引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在复平面内，复数

  1

  z

  对应的点位于第二象限，则复数z对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：77引用：2难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  b

  在单位向量

  a

  上的投影向量为-4

  a

  ，则（

  a

  +

  b

  ）•

  a

  =（　　）

  A．-3

  B．-1

  C．3

  D．5
  组卷：140引用：3难度：0.6

  解析

• 4．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x（单位：万元）的Logistic,模型：

  P

  （

  x

  ）

  =

  e

  -

  0

  .

  9680

  +

  kx

  1

  +

  e

  -

  0

  .

  9680

  +

  kx

  ，已知当贷款大的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（　　）（精确到0.01万元，参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.6931）

  A．4.65万元

  B．5.63万元

  C．6.40万元

  D．10.00万元
  组卷：138引用：4难度：0.6

  解析

• 5．已知△ABC的外接圆半径为1，

  A

  =

  π

  3

  ，则AC•cosC+AB•cosB=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D． 3
  组卷：345引用：3难度：0.7

  解析

• 6．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（　　）

  A．15种

  B．18种

  C．19种

  D．36种
  组卷：228引用：5难度：0.8

  解析

• 7．已知m,n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α，l⊄β，则（　　）

  A．α∥β且l∥α

  B．α⊥β且l⊥β

  C．α与β相交，且交线垂直于l

  D．α与β相交，且交线平行于l
  组卷：4387引用：130难度：0.7

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的右顶点为A，O为原点，点P（1，1）在C的渐近线上，△PAO的面积为

  1

  2

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）过点P作直线l交C于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值．
  组卷：239引用：4难度：0.4

  解析

• 22．已知a∈R，函数f（x）=（x-a-1）e^x-1．
  （1）讨论f（x）在（-∞，b）上的单调性；
  （2）已知点P（m,m）．
  （i）若过点P可以作两条直线与曲线y=e^x-1+1（-1＜x＜3）相切，求m的取值范围；
  （ii）设函数

  h

  （

  x

  ）

  =

  e x - 1 + 1 ，- 1 ＜ x ＜ 1 ln （ x - 1 ） + 1 ， 1 + e - 2 ＜ x ＜ 1 + e 2

  ，若曲线y=h（x）上恰有三个点T_i（i=1，2，3）使得直线PT_i与该曲线相切于点T_i，写出m的取值范围（无需证明）．
  组卷：226引用：3难度：0.1

  解析