2023年四省联考（安徽省、吉林省、黑龙江省、云南省）高考数学适应性试卷（2月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．设z=1+i,则z²-i=（　　）

  A．i

  B．-i

  C．1

  D．-1
  组卷：163引用：6难度：0.8

  解析

• 2．设集合A={2，3，a²-2a-3}，B={0，3}，C={2，a}．若B⊆A，A∩C={2}，则a=（　　）

  A．-3

  B．-1

  C．1

  D．3
  组卷：453引用：5难度：0.7

  解析

• 3．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（　　）

  A． 1 6

  B． 1 4

  C． 1 3

  D． 1 2
  组卷：505引用：11难度：0.7

  解析

• 4．平面向量

  a

  与

  b

  相互垂直，已知

  a

  =（6，-8），

  |

  b

  |

  =

  5

  ，且

  b

  与向量（1，0）的夹角是钝角，则

  b

  =（　　）

  A．（-3，-4）

  B．（4，3）

  C．（-4，3）

  D．（-4，-3）
  组卷：513引用：12难度：0.7

  解析

• 5．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是（　　）

  A． 1 2

  B． 2 3

  C． 6 3

  D． 3 2
  组卷：771引用：9难度：0.8

  解析

• 6．三棱锥A-BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB=3，BD=1，则该三棱锥体积的最大值为（　　）

  A．2

  B． 4 3

  C．1

  D． 2 3
  组卷：451引用：6难度：0.4

  解析

• 7．设函数f（x），g（x）在R的导函数存在，且f′（x）＜g′（x），则当x∈（a,b）时（　　）

  A．f（x）＜g（x）	B．f（x）＞g（x）
  C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）	D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）
  组卷：720引用：13难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）过点

  A

  （

  4

  2

  ，

  3

  ）

  ，且焦距为10．
  （1）求C的方程；
  （2）已知点

  B

  （

  4

  2

  ，-

  3

  ）

  ，

  D

  （

  2

  2

  ，

  0

  ）

  ，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：

  |

  GD

  |

  |

  GE

  |

  =

  |

  HD

  |

  |

  HE

  |

  ．
  组卷：675引用：7难度：0.5

  解析

• 22．椭圆曲线加密算法运用于区块链．
  椭圆曲线C={（x,y）|y²=x³+ax+b,4a³+27b²≠0}．P∈C关于x轴的对称点记为

  ～

  P

  ．C在点P（x,y）（y≠0）处的切线是指曲线y=±

  x

  3

  +

  ax

  +

  b

  在点P处的切线．定义“⊕”运算满足：①若P∈C，Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P⊕Q=

  ～

  R

  ；②若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P则P⊕Q=

  ～

  P

  ；③若P∈C，规定P⊕

  ～

  P

  =

  0

  °

  ，且P⊕0°=0°⊕P=P．
  （1）当4a³+27b²=0时，讨论函数h（x）=x³+ax+b零点的个数；
  （2）已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P=

  ～

  Q

  ；
  （3）已知P（x₁，y₁）∈C，Q（x₂，y₂）∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标．
  参考公式：m³-n³=（m-n）（m²+mn+n²）
  组卷：290引用：3难度：0.3

  解析