2023年湖南省长沙市雅礼中学高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  1

  x

  }

  ，B={y|y=lnx}，则A∩B=（　　）

  A．{x|x＞0}

  B．{x|x＜0}

  C．{x|x∈R且x≠0}

  D．∅
  组卷：100引用：4难度：0.8

  解析

• 2．下列说法正确的是（　　）

  A．若 a ∥ b ，则 a 与 b 的方向相同或者相反

  B．若 a ， b 为非零向量，且 a | a | = b | b | ，则 a 与 b 共线

  C．若 a ∥ b ，则存在唯一的实数λ使得 a =λ b

  D．若 e 1 ， e 2 是两个单位向量，且 | e 1 - e 2 | = 1 ．则 | e 1 + e 2 | = 2
  组卷：237引用：1难度：0.7

  解析

• 3．f（x）=|sin2x+

  1

  2

  |的最小正周期是（　　）

  A．π

  B． π 2

  C． π 4

  D．2π
  组卷：217引用：5难度：0.9

  解析

• 4．给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（　　）

  A．5，2

  B． 56 25 ，2

  C． 56 25 ，1.5

  D．5，1.5
  组卷：243引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知（3x-1）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，则|a₁|+|a₂|+…+|a₅|=（　　）

  A．1024

  B．1023

  C．1025

  D．512
  组卷：217引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知数列{a_n}满足a₁=2，

  a

  n

  +

  1

  =

  3

  a

  n

  -

  1

  a

  n

  +

  1

  ，若[x]表示不超过x的最大整数，则[a₁₀]=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．5
  组卷：88引用：1难度：0.7

  解析

• 7．若

  X

  ～

  B

  （

  100

  ，

  1

  3

  ）

  ，则当k=0，1，2，…，100时（　　）

  A．P（X=k）≤P（X=50）	B．P（X=k）≤P（X=32）
  C．P（X=k）≤P（X=33）	D．P（X=k）≤P（X=49）
  组卷：502引用：4难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知函数f（x）=2sinx-sin2x.
  （1）当0≤x≤π时，求f（x）的最大值；
  （2）当

  π

  3

  ≤

  x

  ≤

  π

  2

  时，求证：f（x）＞ln（x+1）（记

  ln

  2

  π

  3

  =

  0

  .

  739

  ）．
  组卷：90引用：5难度：0.4

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =

  1

  ，直线l与椭圆C交于A，B两点．
  （1）点P（x₀，y₀）为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为

  -

  1

  4

  ，试探究直线l是否过定点，并说明理由；
  （2）若OA⊥OB．过点O作OQ⊥AB，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
  组卷：99引用：1难度：0.5

  解析