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2022-2023学年辽宁省沈阳三十一中高二（下）期中数学试卷

发布：2025/1/5 19:0:3

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数y=x²cos2x的导数为（　　）
A．y′=2xcos2x-x²sin2x B．y′=2xcos2x-2x²sin2x
C．y′=x²cos2x-2xsin2x D．y′=2xcos2x+2x²sin2x
组卷：607引用：15难度：0.9
解析
2．已知数列{a_n}满足a₁=2，
a
n
+
1
=
1
+
a
n
1
-
a
n
，其前n项和为T_n，则T₁₅=（　　）
A．
-
13
3
B．-5 C．3 D．
1
3
组卷：116引用：3难度：0.7
解析
3．用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+（2n-1）+2n=2n²+n（n∈N^*），当n=k+1（k∈N^*）时，等式左边应在n=k时的基础上加的项是（　　）
A．2k+1 B．2k+2
C．（2k+1）+（2k+2） D．1
组卷：179引用：5难度：0.8
解析
4．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（　　）
A．
π
12
B．
π
3
C．
8
π
27
D．
2
π
9
组卷：103引用：6难度：0.7
解析
5．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且
̂
y
=
0
.
8
x
+
̂
a
，现有一对测量数据为（30，23.6），则该数据的残差为（　　）

色差x 21 23 25 27

色度y 15 18 19 20

A．-0.96 B．-0.8 C．0.8 D．0.96
组卷：135引用：8难度：0.8
解析
6．九连环是我国从古至今厂为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a_n表示解开n（n≤9，n∈N^*）个圆环所需的最少移动次数，若数列{a_n}满足a₁=1，且当n≥2时，a_n=
2
a
n
-
1
-
1
，
n
为偶数
3
a
n
-
1
+
1
，
n
为奇数
，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（　　）
A．10 B．16 C．21 D．22
组卷：79引用：5难度：0.7
解析
7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+S_m=S_m+n（m,n∈N^*）且a₁=5，则a₈=（　　）
A．40 B．35 C．5 D．12
组卷：90引用：2难度：0.8
解析

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且
S
n
S
n
+
1
=
a
n
+
1
-
1
a
n
+
1
+
1
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
a
n
3
a
n
-
1
，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．
组卷：202引用：5难度：0.5
解析
22．设函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x,其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为
π
4
，求a的值；
（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞-e²．
组卷：669引用：7难度：0.5
解析

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A．y′=2xcos2x-x²sin2x	B．y′=2xcos2x-2x²sin2x
C．y′=x²cos2x-2xsin2x	D．y′=2xcos2x+2x²sin2x

A．2k+1	B．2k+2
C．（2k+1）+（2k+2）	D．1

色差x	21	23	25	27
色度y	15	18	19	20

2022-2023学年辽宁省沈阳三十一中高二（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数y=x2cos2x的导数为（ ）

2．已知数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1-an，其前n项和为Tn，则T15=（ ）

3．用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+（2n-1）+2n=2n2+n（n∈N*），当n=k+1（k∈N*）时，等式左边应在n=k时的基础上加的项是（ ）

4．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ）

7．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sm+n（m,n∈N*）且a1=5，则a8=（ ）

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且SnSn+1=an+1-1an+1+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an3an-1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

22．设函数f（x）=alnx+x2-（a+2）x,其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为π4，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞-e2．

1．函数y=x²cos2x的导数为（　　）

2．已知数列{a_n}满足a₁=2，
a
n
+
1
=
1
+
a
n
1
-
a
n
，其前n项和为T_n，则T₁₅=（　　）

3．用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+（2n-1）+2n=2n²+n（n∈N^），当n=k+1（k∈N^）时，等式左边应在n=k时的基础上加的项是（　　）

4．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（　　）

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+S_m=S_m+n（m,n∈N^*）且a₁=5，则a₈=（　　）

21．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且
S
n
S
n
+
1
=
a
n
+
1
-
1
a
n
+
1
+
1
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
a
n
3
a
n
-
1
，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

22．设函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x,其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为
π
4
，求a的值；
（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞-e²．