2023-2024学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本题8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-x-2≤0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（　　）

  A．[0，1]

  B．[0，2]

  C．（0，1]

  D．（0，2]
  组卷：225引用：11难度：0.8

  解析

• 2．已知a,b∈R，i²=-1，则“a=b=1”是“（a+bi）²=2i”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：181引用：11难度：0.9

  解析

• 3．已知一个盒子中有5个大小相同的小球，其中3个是白球，2个是黄球，从中任取3个小球，则2个黄球都被取到的概率是（　　）

  A． 2 5

  B． 3 5

  C． 2 3

  D． 3 10
  组卷：107引用：1难度：0.9

  解析

• 4．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  ln

  |

  x

  |

  cos

  （

  π

  2

  +

  2

  x

  ）

  的图象可能为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：128引用：7难度：0.7

  解析

• 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点P为椭圆上的一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，则点P处的切线平分∠F₁PF₂外角”．根据此信息回答下列问题：已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  8

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  ，

  O

  为坐标原点，l是点

  P

  （

  2

  ，

  2

  ）

  处的切线，过左焦点F₁作l的垂线，垂足为M，则|OM|为（　　）

  A． 2 2

  B．2

  C．3

  D． 2 3
  组卷：149引用：3难度：0.5

  解析

• 6．已知数列{a_n}的通项公式为

  a

  n

  =

  lo

  g

  n

  +

  1

  （

  n

  +

  2

  ）

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，定义：使数列{a_n}的前k项积a₁•a₂……a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做“思诚数”，则在区间[1，2023]内的所有“思诚数”的和等于（　　）

  A．2023

  B．2024

  C．2025

  D．2026
  组卷：55引用：1难度：0.5

  解析

• 7．向量

  |

  a

  |

  =

  |

  b

  |

  =

  1

  ，

  |

  c

  |

  =

  3

  且

  a

  +

  b

  +

  c

  =

  0

  ，则

  cos

  〈

  a

  -

  c

  ，

  b

  -

  c

  〉

  =（　　）

  A． 13 14

  B． - 13 14

  C． 4 5

  D． - 4 5
  组卷：143引用：7难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）左、右焦点为F₁，F₂，其中焦距为

  2

  7

  ，双曲线经过点D（4，3）．
  （1）求双曲线的方程；
  （2）过右焦点F₂作直线交双曲线于M，N两点（M，N均在双曲线的右支上），过原点O作射线OP，其中OP⊥MN，垂足为E，P为射线OP与双曲线右支的交点，求4|MN|-|OP|²的最大值．
  组卷：138引用：5难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=（lnx+1）x-mx²+m.
  （1）若f（x）单调递减，求m的取值范围；
  （2）若f′（x）的两个零点分别为a,b,且2a＜b,证明：

  a

  b

  2

  ＞

  32

  e

  6

  ．
  （参考数据：ln2≈0.69）
  组卷：181引用：4难度：0.3

  解析