2022-2023学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)

• 1．设集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为

  ．
  组卷：98引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z=

  2

  i

  1

  +

  i

  ，则z的共轭复数

  z

  =

  ．
  组卷：61引用：5难度：0.7

  解析

• 3．已知直线L₁：（a-3）x+（1-a）y-1=0，L₂：（a-1）x+（2a-3）y+1=0，则当实数a=

  时，L₁∥L₂．
  组卷：147引用：5难度：0.7

  解析

• 4．已知cos（

  π

  6

  -

  α

  ）=

  1

  3

  ，则sin（

  5

  π

  6

  +

  α

  ）cos（

  2

  π

  3

  -

  α

  ）=

  ．
  组卷：174引用：1难度：0.7

  解析

• 5．将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有

   

  ．（用数字作答）
  组卷：91引用：4难度：0.5

  解析

• 6．（x+2y）（x-y）⁵的展开式中x²y⁴的系数为

  ．
  组卷：209引用：11难度：0.7

  解析

• 7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S_甲和S_乙，体积分别为V_甲和V_乙，若

  S

  甲

  S

  乙

  =2，则

  V

  甲

  V

  乙

  =

  ．
  组卷：64引用：1难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

• 20．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  过点M（0，2），且右焦点为F（2，0）．
  （1）写出椭圆C的方程；
  （2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P．若

  PA

  =m

  AF

  ，

  PB

  =n

  BF

  ，求证：m+n为定值；
  （3）在（2）的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点O的对称点，试求三角形QAB面积的最小值．
  组卷：232引用：5难度：0.3

  解析

• 21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x₀∈R，满足f（x₀）=g（x₀）且f′（x₀）=g′（x₀），则称x₀为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
  （1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x²+2x-2不存在“S点”；
  （2）若函数f（x）=ax²-1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
  （3）已知函数f（x）=-x²+a,g（x）=

  b

  e

  x

  x

  ．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．
  组卷：2671引用：10难度：0.5

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