2022-2023学年上海市青浦高级中学高二（上）月考数学试卷（12月份）

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

• 1．直线3x-2y+5=0的一个法向量为

  ．
  组卷：19引用：1难度：0.8

  解析

• 2．抛物线y²=4x的焦点坐标是

  ．
  组卷：465引用：26难度：0.9

  解析

• 3．点（9，-7，1）关于xOy平面对称点是

  ．
  组卷：28引用：3难度：0.8

  解析

• 4．若事件A发生的概率为t,则它的对立事件发生的概率为

  ．
  组卷：27引用：1难度：0.7

  解析

• 5．空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点F，G分别是AD，DC的中点，则FG•AB的值为

  ．
  组卷：17引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知点P和点Q的坐标分别为（-1，1）和（1，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ相交，则m的取值范围是

  ．
  组卷：72引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知方程

  x

  2

  k

  -

  4

  +

  y

  2

  10

  -

  k

  =

  1

  表示双曲线，则实数k的取值范围为

  ．
  组卷：108引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题赛5题，共14+14+14+16+18=76分）

• 20．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如图），
  步骤1：设圆心是O，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；
  步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F；
  步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
  步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．
  所有这些折痕围成的图形是一个椭圆．
  
  若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心O的距离为2，按上述方法折纸．
  （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；
  （2）求经过F，且与直线FO夹角为

  π

  4

  的直线被椭圆截得的弦长．
  组卷：31引用：2难度：0.6

  解析

• 21．在梯形ABCD中，AB∥CD，

  ∠

  BAD

  =

  π

  3

  ，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD'位置，使得平面D′AC⊥平面BAC（如图2）．
  
  （1）求证：BC∥平面POD'；
  （2）求二面角A-BC-D'的大小；
  （3）线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为

  6

  8

  ？若存在，求出

  PQ

  PD

  ′

  的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：168引用：3难度：0.5

  解析