2021-2022学年山东省青岛大学附中九年级（上）期初数学试卷

一．选择题（每小题3分，共24分）

• 1．若分式

  x

  2

  -

  1

  x

  +

  1

  的值为0，则x的值为（　　）

  A．0

  B．1

  C．-1

  D．±1
  组卷：4843引用：87难度：0.9

  解析

• 2．如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（　　）
  

  A．①②③④

  B．①②③

  C．②③

  D．③
  组卷：164引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知平行四边形ABCD周长为26cm,对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm,则BC的长度为（　　）

  A．5cm

  B．6cm

  C．7cm

  D．8cm
  组卷：305引用：2难度：0.6

  解析

• 4．△ABC的顶点分别位于格点，建立如图所示平面直角坐标系，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

  A．（-1，0）

  B．（-1，-2）

  C．（-1，-1）

  D．（-7，0）
  组卷：209引用：2难度：0.5

  解析

• 5．若关于x的方程

  x

  +

  4

  x

  -

  3

  =

  m

  x

  -

  3

  +2有增根，则m的值是（　　）

  A．7

  B．3

  C．4

  D．0
  组卷：1022引用：14难度：0.9

  解析

• 6．如图，△ABC中，AB=6，AC=4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=2，则BF的长为（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：1727引用：8难度：0.7

  解析

• 7．如图，已知直线y=mx过点A（-2，-4），过点A的直线y=nx+b交x轴于点B（-4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（　　）

  A．x≤-2

  B．-4＜x≤-2

  C．x≥-2

  D．-2≤x＜0
  组卷：5087引用：14难度：0.7

  解析

• 8．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

  A． 9 + 25 3 4

  B． 9 + 25 3 2

  C． 18 + 25 3

  D． 18 + 25 3 2
  组卷：9554引用：17难度：0.3

  解析

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

• 23．【实际问题】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？
  
  【类比探究】为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
  探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC=a,AC=b,AB=c,则b与c之间有什么数量关系？
  解：在△ABC中，∵AC⊥BC，
  ∴BC²+AC²=AB²，即a²+b²=c²．
  ∵（a-b）²≥0，
  ∴a²+b²-2ab≥0．
  ∴a²+b²≥2ab.
  ∴c²≥2ab.
  ∴c²+a²+b²≥2ab+a²+b²．
  ∴2c²≥（a+b）²．
  ∵a,b,c均大于0，
  ∴a+b与c之间的数量关系是a+b≤

  2

  c.
  探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,则a+b+c与d之间有什么数量关系？
  解：∵AB⊥BC，AC⊥CD，
  ∴BC²+AB²=AC²，AC²+CD²=AD²．
  ∴a²+b²+c²=d²．
  ∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
  ∴a²+b²≥2ab,a²+c²≥2ac,b²+c²≥2bc.
  将上面三式相加得，2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc,
  ∴2d²≥2ab+2ac+2bc.
  ∴2d²+a²+b²+c²≥2ab+2ac+2bc+a²+b²+c²．
  ∴

  d²≥（a+b+c）²．
  ∵a,b,c,d均大于0，
  ∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤

  d.
  探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d与e之间的数量关系是

  ．
  【归纳结论】
  当a₁＞0，a₂＞0，…，a_n＞0，m＞0时，若a₁²+a₂²+…+a_n²=m²，则a₁+a₂+…+a_n与m之间的数量关系是

  ．
  【问题解决】
  小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是

  米．
  【拓展延伸】
  公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为400平方米，则水池的最大周长为

  米．
  组卷：593引用：4难度：0.2

  解析

• 24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm,AB=6cm,BC=10cm,点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
  （1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm²；
  （2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
  （3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
  
  组卷：822引用：4难度：0.3

  解析