2022-2023学年福建省三校联考高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知

  a

  =（-3，2，5），

  b

  =（1，5，-1），则

  a

  +3

  b

  =（　　）

  A．（-2，7，4）

  B．（2，-7，4）

  C．（0，17，2）

  D．（0，17，-2）
  组卷：147引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为

  9

  3

  π

  ，则该圆锥的表面积为（　　）

  A．27π

  B． 20 3 π

  C． 18 2 π

  D．16π
  组卷：260引用：9难度：0.7

  解析

• 3．已知直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B 两点，点P在圆（x-2）²+y²=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）

  A．[2，4]

  B．[2，6]

  C．[ 2 ，3 2 ]

  D．[2 2 ，3 2 ]
  组卷：417引用：5难度：0.6

  解析

• 4．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（　　）

  A．-7

  B．1或-7

  C．2或-7

  D．1
  组卷：346引用：12难度：0.5

  解析

• 5．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是A₁A₂椭圆的长轴，PA₁垂直于地面且与球相切，PA₁=6，则椭圆的离心率为（　　）

  A． 1 2

  B． 2 3

  C． 1 3

  D． 2 2
  组卷：83引用：4难度：0.6

  解析

• 6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是边长为

  2

  3

  的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P-ABM的外接球．若D是球O上一点，则三棱锥D-PAC的体积的最大值是（　　）

  A．2

  B． 2 3

  C． 7 3 3

  D． 8 3 3
  组卷：159引用：6难度：0.6

  解析

• 7．已知

  A

  （

  -

  1

  ，

  2

  3

  3

  ）

  ，

  B

  （

  1

  ，-

  2

  3

  3

  ）

  ，

  P

  （

  x

  0

  ，

  y

  0

  ）

  为椭圆

  C

  ：

  x

  2

  3

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  上不同的三点，直线l：x=2，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若S_△PAB=S_△PMN，则x₀=（　　）

  A．0

  B． 5 4

  C． 5 3

  D． 3
  组卷：237引用：6难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右顶点为

  A

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，过左焦点F的直线x=ty-1（t≠0）交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，

  PM

  =λ

  MF

  ，

  PN

  =μ

  NF

  ，记△OMN，△OMF₂，△ONF₂（F₂为C的右焦点）的面积分别为S₁，S₂，S₃．
  （1）证明：λ+μ为定值；
  （2）若S₁=mS₂-μS₃，-4≤λ≤-2，求m的取值范围．
  组卷：73引用：4难度：0.4

  解析

• 22．已知椭圆T：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  ，F₁，F₂是左右焦点，且直线l过点p（m,0）（

  m

  ＜

  -

  2

  ）交椭圆T于A，B两点，点A，B在x轴上方，点A在线段BP上．
  （1）若B为上顶点，

  |

  B

  F

  1

  |

  =

  |

  P

  F

  1

  |

  ，求m的值；
  （2）若

  F

  1

  A

  •

  F

  2

  A

  =

  1

  3

  ，原点O到直线l的距离为

  4

  15

  15

  ，求直线l的方程；
  （3）对于任意点P，是否存在唯一的直线l,使得

  F

  1

  A

  ∥

  F

  2

  B

  ，若存在，求出直线l的斜率，若不存在，请说明理由．
  组卷：55引用：3难度：0.5

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