2020-2021学年湖南省湖湘名校教育联合体高三（上）入学数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．设全集U=A∪B={x|-1≤x＜3}，A∩（∁_UB）={x|2＜x＜3}，则集合B=（　　）

  A．{x|-1≤x＜2}

  B．{x|-1≤x≤2}

  C．{x|2＜x＜3}

  D．{x|2≤x＜3}
  组卷：57引用：2难度：0.8

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• 2．设复数z=1-i,则z³=（　　）

  A．-2+2i

  B．2+2i

  C．-2-2i

  D．2-2i
  组卷：83引用：2难度：0.8

  解析

• 3．以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（　　）个

  A．70

  B．64

  C．60

  D．58
  组卷：167引用：1难度：0.9

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• 4．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关系为P=P₀e^-kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（　　）

  A．13小时

  B．15小时

  C．17小时

  D．19小时
  组卷：85引用：2难度：0.6

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• 5．已知tanα=2，则sin（α-

  π

  4

  ）sin（α+

  π

  4

  ）=（　　）

  A． - 3 10

  B． - 3 5

  C． 3 10

  D． 3 5
  组卷：428引用：5难度：0.8

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• 6．大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B做圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β．设OB=4AB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（　　）

  A．点A在某个定球面上运动

  B．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，则θ+δ为定值

  C．可能在某个时刻，AB∥α

  D．直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为 17 17
  组卷：190引用：5难度：0.4

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• 7．已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面上一点，满足

  PA

  •

  （

  PB

  +

  PC

  +

  PD

  ）

  =

  0

  ，则

  |

  PD

  |

  的最小值是（　　）

  A． 5 - 2 3

  B． 2 - 1 3

  C． 5 - 2 2

  D． 2 - 1 2
  组卷：351引用：3难度：0.5

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知函数f（x）=cosx（x≥0）．
  （1）求证：f（x）≥1-

  1

  2

  x

  2

  ；
  （2））若对任意的x≥0，都有f（x）+ae^x-x≥2恒成立，求a的取值范围．
  组卷：75引用：1难度：0.2

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• 22．知抛物线C的顶点在原点O，准线为

  x

  =

  -

  1

  2

  ．
  （1）求抛物线C的标准方程；
  （2）点A，B在C上，且OA⊥OB，OD⊥AB，垂足为D，直线OD另交C于E，当四边形OAEB面积最小时，求直线AB的方程．
  组卷：113引用：1难度：0.3

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