2022-2023学年福建省厦门一中高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知i为虚数单位，复数z=

  2

  +

  i

  2

  -

  i

  ，则复数z的模为（　　）

  A．2

  B． 5

  C．1

  D． 2
  组卷：156引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知平面向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  m

  ）

  ，

  b

  =

  （

  n

  ,

  2

  ）

  ，

  c

  =

  （

  3

  ，

  6

  ）

  ，若

  a

  ∥

  c

  ，

  b

  ⊥

  c

  ，则实数m与n的和为（　　）

  A．6

  B．-6

  C．2

  D．-2
  组卷：107引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m,顶角为

  2

  π

  3

  的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（　　）

  A．6πm2

  B． 6 3 π m 2

  C． 3 3 π m 2

  D． 12 3 π m 2
  组卷：105引用：3难度：0.8

  解析

• 4．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（　　）

  A． π ≈ n 2 sin 360 ° n	B． π ≈ nsin 180 ° n
  C． π ≈ n 2 （ 1 - cos 360 ° n ）	D． π ≈ n 2 1 - cos 180 ° n
  组卷：247引用：4难度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为

  3

  ，则

  a

  sin

  A

  为（　　）

  A． 8 3 81

  B． 2 39 3

  C． 26 3 3

  D． 2 7
  组卷：199引用：3难度：0.6

  解析

• 6．已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

  A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

  B．若m∥α，m∥β，α∩β=n,则m∥n

  C．若n∥α，n∥β，则α∥β

  D．若m∥n,n⊂α，则m∥α
  组卷：123引用：7难度：0.7

  解析

• 7．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱柱的侧面均为矩形，AA₁=1，

  AB

  =

  BC

  =

  3

  ，

  cos

  ∠

  ABC

  =

  1

  3

  ，P是A₁B上的一动点，则AP+PC₁的最小值为（　　）
  

  A． 3

  B．2

  C． 5

  D． 7
  组卷：215引用：7难度：0.5

  解析

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=2，

  PA

  =

  PB

  =

  2

  ．M是棱PD上的点，O是棱AB的中点，PO为四棱锥P-ABCD的高，且四面体MPBC的体积为

  3

  6

  ．
  （1）证明：PM=MD；
  （2）若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求多面体DMC-AQB体积．
  组卷：121引用：1难度：0.3

  解析

• 22．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路l₁，l₂成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在l₁和l₂上，修建的木栈道AB与道路l₁，l₂围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
  
  （1）当△OAB为正三角形时求修建的木栈道AB与道路l₁，l₂围成的三角地块OAB面积；
  （2）若△OAB的面积

  S

  =

  10

  3

  ，求木栈道AB长；
  （3）如图2，设∠CAB=α，
  ①将木栈道AB的长度表示为α的函数，并指定定义域；
  ②求木栈道AB的最小值．
  组卷：50引用：3难度：0.5

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