2022-2023学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每分5分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

• 1．在等差数列{a_n}中，a₂+a₆=2，则a₄=

  ．
  组卷：329引用：4难度：0.8

  解析

• 2．若1∈{x,x²}，则x=

  ．
  组卷：670引用：17难度：0.9

  解析

• 3．

  （

  x

  2

  +

  2

  x

  ）

  5

  的展开式中x⁴的系数为

  ．
  组卷：122引用：4难度：0.8

  解析

• 4．设f（x）=2^x，则方程f'（x）=ln4的解集为

  ．
  组卷：43引用：4难度：0.8

  解析

• 5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-1，2），则sin2α=

   

  ．
  组卷：68引用：4难度：0.7

  解析

• 6．对任意m∈R，直线（m+2）x+（2m-1）y+m+5=0过定点

  ．
  组卷：76引用：3难度：0.8

  解析

• 7．函数f（x）的定义域是（1，+∞），则函数f（x²-2x-2）的定义域是

  ．
  组卷：184引用：4难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  ωx

  +

  π

  3

  ）

  ，ω＞0；
  （1）当ω=2时，求f（x）在

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  的值域；
  （2）若至少存在三个

  x

  0

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  3

  ）

  使得f（x₀）=-1，求ω的取值范围；
  （3）若f（x）在

  [

  π

  2

  ，

  π

  ]

  上是增函数，且存在

  m

  ∈

  [

  π

  2

  ，

  π

  ]

  ，使得

  f

  （

  2

  m

  -

  π

  3

  ω

  ）

  ＞

  2

  2

  成立，求实数ω的取值范围．
  组卷：190引用：3难度：0.6

  解析

• 21．我们用“Q=f（P）”表示“将直角坐标平面内点P（x,y）进行变换后得到Q=（x'，y'），即f（x,y）=（x'，y'），已知P₁（x₁，y₁），P_n=f（p_n-1）（n≥2，n∈N^*），若存在一个圈，使所有的点P_n（x_n，y_n）都在这个圆内或圆上，则称这个圆为P_n（x_n，y_n）的一个收敛圈．
  （1）若f（x,y）=（x+y,y-2），且P₁（2，1），判断P_n（x_n，y_n）是否存在半径为3的收敛圆．并说明理由；
  （2）若

  f

  （

  x

  ,

  y

  ）

  =

  （

  （

  1

  2

  ）

  x

  +

  1

  ，

  sin

  π

  2

  y

  ）

  ，且P₁（-1，0），求P_n（x_n，y_n）的半径最小的收敛圆C₀的方程．
  （3）对于（2）中的图C₀上一点P（x₀，y₀），f（x₀，y₀）=（by₀，bx₀）（b＞0），Q的轨迹为Γ，F₁，F₂分别是椭圆

  E

  ：

  x

  2

  2

  b

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的焦点，M是Γ上异于F₁，F₂的一点，直线MF₁，MF₂与E分别相交于点A、B和C、D，判断

  1

  |

  AB

  |

  +

  1

  |

  CD

  |

  是否为定值，证明你的结论．
  组卷：41引用：2难度：0.3

  解析