2023年三省三校（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州二中）高考数学二模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知全集U=R，集合A={2，3，4}，集合B={0，2，4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）

  A．{2，4}

  B．{0}

  C．{5}

  D．{0，5}
  组卷：166引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知直线l₁：

  3

  x-3y+1=0，若直线l₂与l₁垂直，则l₂的倾斜角是（　　）

  A．150°

  B．120°

  C．60°

  D．30°
  组卷：307引用：8难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  b

  |

  ，则

  a

  +

  b

  在

  a

  方向上的投影向量为（　　）

  A． a

  B． b

  C． 2 a

  D． 2 b
  组卷：631引用：12难度：0.8

  解析

• 4．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积S₁、S₂总相等，则这两个几何体的体积V₁、V₂相等．根据“祖暅原理”，“V₁=V₂”是“S₁=S₂”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：150引用：6难度：0.7

  解析

• 5．函数y=2cosx（0＜x＜π）和函数y=3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

  A． 3 π 2

  B． 3 π 3

  C． 2 π 2

  D． 2 π 3
  组卷：447引用：4难度：0.5

  解析

• 6．已知P为双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）上一点，F₁，F₂为双曲线C的左、右焦点，若|PF₁|=|F₁F₂|，且直线PF₂与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（　　）

  A． y =± 4 3 x

  B． y =± 3 4 x

  C． y =± 3 5 x

  D． y =± 5 3 x
  组卷：648引用：18难度：0.7

  解析

• 7．已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该六棱锥体积的最大值为（　　）

  A． 27 3

  B．16 3

  C． 10 3

  D． 9 3
  组卷：91引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0），长轴为AB，离心率为

  3

  2

  ，P是椭圆C上的动点，△PAB面积的最大值为2．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若点S、T是椭圆C上另两个动点，求△PST面积的最大值．
  组卷：81引用：1难度：0.6

  解析

• 22．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记y″=（y'）′，则函数y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的曲率为

  κ

  =

  |

  y

  ″

  0

  |

  （

  1

  +

  （

  y

  ′

  0

  ）

  2

  ）

  3

  2

  ．
  （1）求证：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）在

  x

  =

  -

  b

  2

  a

  处弯曲程度最大；
  （2）已知函数g（x）=6x²lnx-2ax³-9x²，h（x）=2xe^x-4e^x+ax²，

  a

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  e

  ）

  ，若g（x），h（x）曲率为0时x的最小值分别为x₁，x₂，求证：

  x

  2

  1

  e

  x

  2

  ＞

  e

  8

  3

  ．
  组卷：41引用：1难度：0.6

  解析