2007年第2届“南方杯”数学邀请赛试卷（初一）

一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）

• 1．若

  （

  a

  -

  1

  ）

  2

  +

  a

  2

  =

  1

  -

  2

  a

  ，则|1-a|-|a|=（　　）

  A．1-2a	B．1
  C．-1	D．以上答案都不对
  组卷：101引用：5难度：0.9

  解析

• 2．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x-1）-n=3（2-n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3=4x+m的解的情况是（　　）

  A．有至少两个不同的解	B．有无限多个解
  C．只有一个解	D．无解
  组卷：1188引用：3难度：0.9

  解析

• 3．若a、b、c均为非零有理数，a²+b²+c²=（a+b+c）²，则

  （

  c

  a

  +

  c

  b

  +

  3

  ）

  3

  =（　　）

  A．8

  B．27

  C．64

  D．1
  组卷：311引用：1难度：0.9

  解析

• 4．数2007⁸+8²⁰⁰⁷的个位数字是（　B　）

  A．1

  B．3

  C．5

  D．9
  组卷：95引用：1难度：0.9

  解析

• 5．若a、b、c、n均是整数，且|a+n|+|2n-b|+|3c+3n|=2007，则a、b、c中必有（　　）

  A．两个奇数一个偶数

  B．一个奇数两个偶数

  C．三个奇数

  D．一个奇数两个偶数或三个奇数
  组卷：121引用：1难度：0.9

  解析

三、解答题（共4小题，满分60分）

• 15．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
  试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
  （1）三条边长均是正整数；
  （2）一条直角边为素数（也称质数）p.若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
  组卷：74引用：1难度：0.1

  解析

• 16．如图，M是△ABC的BC边的中点，P是线段AM的中点，直线CP交AB边于点D．
  试求

  BD

  AD

  及

  CP

  PD

  的值．
  组卷：165引用：1难度：0.1

  解析