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2023-2024学年福建省福州三中高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/21 18:0:2

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

1．已知空间向量
a
，
b
，且
AB
=
3
a
+
6
b
，
BC
=
-
10
a
+
12
b
，
CD
=
14
a
-
4
b
，则一定共线的三点是（　　）
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D
组卷：67引用：2难度：0.8
解析
2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分别是BC、CC₁的中点，G为△ABC的重心，则
GF
=（　　）
A．
-
1
3
AB
+
2
3
AC
+
1
2
A
A
1
B．
1
3
AB
+
2
3
AC
+
1
2
A
A
1
C．
-
2
3
AB
+
1
3
AC
-
1
2
A
A
1
D．
1
3
AB
-
2
3
AC
+
1
2
A
A
1
组卷：667引用：11难度：0.8
解析
3．当圆C：x²+y²+6y-3=0的圆心到直线l：mx+y+m-1=0的距离最大时，m=（　　）
A．
1
4
B．4 C．
-
1
4
D．-4
组卷：98引用：3难度：0.8
解析
4．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF=90°，则椭圆C的离心率为（　　）
A．
5
-
1
2
B．
3
-
1
2
C．
1
+
5
4
D．
3
+
1
4
组卷：1431引用：16难度：0.7
解析
5．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（-2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+3和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（　　）
A．
E
（
-
13
6
，
5
6
）
，F（0，2） B．E（-2，2），F（0，2）
C．
E
（
-
13
6
，
5
6
）
，
F
（
0
，
2
5
）
D．E（-2，2），
F
（
0
，
2
5
）
组卷：24引用：2难度：0.6
解析
6．若直线l：kx-y+3k=0与曲线
C
：
1
-
x
2
=
y
-
1
有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．
（
1
2
，
3
4
]
B．
[
1
2
，
3
4
）
C．
（
0
，
3
4
）
D．
（
0
，
3
4
]
组卷：1625引用：18难度：0.5
解析
7．已知过椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
左焦点F且与长轴垂直的弦长为
6
2
，过点P（2，1）且斜率为-1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（　　）
A．6 B．
2
2
+
6
C．
2
3
+
6
D．
6
2
+
6
组卷：212引用：8难度：0.5
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．

21．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
组卷：7944引用：21难度：0.5
解析
22．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
过点A（-2，-1），离心率
e
=
3
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点A的斜率为k直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率k的值；
（3）设过点D（-4，0）的直线l′交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q．求证：线段PQ的中点T为定点．
组卷：86引用：2难度：0.5
解析

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A． - 1 3 AB + 2 3 AC + 1 2 A A 1	B． 1 3 AB + 2 3 AC + 1 2 A A 1
C． - 2 3 AB + 1 3 AC - 1 2 A A 1	D． 1 3 AB - 2 3 AC + 1 2 A A 1

A． E （ - 13 6 ， 5 6 ），F（0，2）	B．E（-2，2），F（0，2）
C． E （ - 13 6 ， 5 6 ）， F （ 0 ， 2 5 ）	D．E（-2，2）， F （ 0 ， 2 5 ）

2023-2024学年福建省福州三中高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．

1．已知空间向量a，b，且AB=3a+6b，BC=-10a+12b，CD=14a-4b，则一定共线的三点是（ ）

2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）

3．当圆C：x2+y2+6y-3=0的圆心到直线l：mx+y+m-1=0的距离最大时，m=（ ）

4．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF=90°，则椭圆C的离心率为（ ）

5．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（-2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+3和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）

6．若直线l：kx-y+3k=0与曲线C：1-x2=y-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）

7．已知过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左焦点F且与长轴垂直的弦长为62，过点P（2，1）且斜率为-1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）

四、解答题：本大题共6小题，共70分．

21．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

1．已知空间向量
a
，
b
，且
AB
=
3
a
+
6
b
，
BC
=
-
10
a
+
12
b
，
CD
=
14
a
-
4
b
，则一定共线的三点是（　　）

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分别是BC、CC₁的中点，G为△ABC的重心，则
GF
=（　　）

3．当圆C：x²+y²+6y-3=0的圆心到直线l：mx+y+m-1=0的距离最大时，m=（　　）

4．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF=90°，则椭圆C的离心率为（　　）

5．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（-2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+3和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（　　）

6．若直线l：kx-y+3k=0与曲线
C
：
1
-
x
2
=
y
-
1
有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

7．已知过椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
左焦点F且与长轴垂直的弦长为
6
2
，过点P（2，1）且斜率为-1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（　　）

21．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．