2022-2023学年广东省广州外国语学校等三校高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁_RQ⫋∁_RP，则下列结论正确的是（　　）

  A．∀x∈Q，x∈P	B．∃x0∈∁RP，x0∈∁RQ
  C．∃x0∉Q，x0∈P	D．∀x0∈∁RP，x0∈∁RQ
  组卷：88引用：1难度：0.7

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• 2．在复平面内，复数z₁，z₂对应的点关于直线x-y=0对称，若z₁=1-i,则|z₁-z₂|=（　　）

  A． 2

  B．2

  C． 2 2

  D．4
  组卷：306引用：11难度：0.7

  解析

• 3．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S₁，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S₂，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（　　）

  A． S 1 S 2	B． 2 S 1 S 2
  C． （ S 1 + R ） （ S 2 + R ）	D． 2 （ S 1 + R ） （ S 2 + R ）
  组卷：367引用：12难度：0.7

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• 4．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（　　）

  A．196

  B．197

  C．198

  D．199
  组卷：380引用：4难度：0.6

  解析

• 5．已知圆锥的侧面积为

  4

  3

  π

  ，高为

  2

  2

  ，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为（　　）

  A． 8 2 π

  B．8π

  C．9π

  D． 9 2 π
  组卷：98引用：1难度：0.5

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• 6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，-

  π

  2

  ＜φ＜0．在已知

  x

  2

  x

  1

  的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（　　）

  A．ω

  B．φ

  C． φ ω

  D．Asinφ
  组卷：752引用：12难度：0.6

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• 7．在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：x²+y²=1上一动点，若直线l：kx-y-2k+3=0上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（　　）

  A． （ - 12 5 ， 0 ）	B． （ - ∞ ，- 12 5 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ）
  C． [ - 12 5 ， 0 ]	D． （ - ∞ ，- 12 5 ] ∪ [ 0 ， + ∞ ）
  组卷：201引用：4难度：0.5

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知双曲线E：

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  =

  1

  与直线l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
  （1）当k变化时，求点M的轨迹方程；
  （2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k,使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
  组卷：597引用：6难度：0.4

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• 22．已知关于x的方程ax-lnx=0有两个不相等的正实根x₁和x₂，且x₁＜x₂．
  （1）求实数a的取值范围；
  （2）设k为常数，当a变化时，若x₁^kx₂有最小值e^e，求常数k的值．
  组卷：502引用：7难度：0.2

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