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2023-2024学年河南省郑州外国语学校高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/12 4:0:3

一、选择题（每题5分，1-10题为单选；11、12为多选，少选得2分，多选、错选得0分，共60分）

1．已知曲线
x
2
2
m
-
3
+
y
2
m
-
5
=
1
表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　）
A．
（
-
∞
，
3
2
）
∪
（
5
，
+
∞
）
B．（5，+∞）
C．
（
-
∞
，
3
2
）
D．
（
3
2
，
5
）
组卷：423引用：14难度：0.7
解析
2．若m,n满足m+2n-1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（　　）
A．
（
1
2
，
1
6
）
B．
（
1
2
，-
1
6
）
C．
（
1
6
，-
1
2
）
D．
（
-
1
6
，
1
2
）
组卷：263引用：8难度：0.9
解析
3．已知F₁，F₂分别是双曲线
C
：
x
2
4
-
y
2
4
=
1
的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且
P
F
1
•
P
F
2
=
0
，则△PF₁F₂的面积为（　　）
A．2 B．4 C．
2
2
D．
2
3
组卷：916引用：6难度：0.6
解析
4．若双曲线
x
2
a
-
y
2
b
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
和椭圆
x
2
m
+
y
2
n
=
1
（
m
＞
n
＞
0
）
有共同的焦点F₁，F₂，P是两条曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|=（　　）
A．m²-a² B．
m
-
a
C．
1
2
（
m
-
a
）
D．（m-a）
组卷：226引用：5难度：0.7
解析
5．若过点A（a,a）可作圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，-3） B．（-3，1）
C．（-∞，-3）∪（1，
3
2
） D．（-∞，-3）∪（1，+∞）
组卷：463引用：2难度：0.5
解析
6．动点P为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上异于椭圆顶点A（a,0），B（-a,0）的一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F₁P、F₁F₂的延长线及线段PF₂相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（　　）
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的右支 D．一条直线
组卷：218引用：3难度：0.5
解析
7．点A是圆C₁：（x-2）²+y²=1上的任一点，圆C₂是过点（5，4）且半径为1的动圆，点B是圆C₂上的任一点，则AB长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
组卷：115引用：2难度：0.5
解析

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三、解答题（写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

21．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，焦距为
2
3
，点Q（
3
，-
1
2
）在椭圆C上．
（1）P是C上一动点，求
P
F
1
•
P
F
2
的范围；
（2）过C的右焦点F₂，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F₁MN的内切圆面积的最大值．
组卷：227引用：5难度：0.5
解析
22．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，
PA
=
PB
=
2
．M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为
3
6
．
（1）证明：PM=MD；
（2）若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值．
组卷：660引用：9难度：0.4
解析

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A．（ - ∞ ， 3 2 ） ∪ （ 5 ， + ∞ ）	B．（5，+∞）
C．（ - ∞ ， 3 2 ）	D．（ 3 2 ， 5 ）

A．（-∞，-3）	B．（-3，1）
C．（-∞，-3）∪（1， 3 2 ）	D．（-∞，-3）∪（1，+∞）

A．抛物线	B．椭圆
C．双曲线的右支	D．一条直线

2023-2024学年河南省郑州外国语学校高二（上）期中数学试卷

一、选择题（每题5分，1-10题为单选；11、12为多选，少选得2分，多选、错选得0分，共60分）

1．已知曲线x22m-3+y2m-5=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）

2．若m,n满足m+2n-1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（ ）

3．已知F1，F2分别是双曲线C：x24-y24=1的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且PF1•PF2=0，则△PF1F2的面积为（ ）

4．若双曲线x2a-y2b=1（a＞0，b＞0）和椭圆x2m+y2n=1（m＞n＞0）有共同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|=（ ）

5．若过点A（a,a）可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）

6．动点P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上异于椭圆顶点A（a,0），B（-a,0）的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）

7．点A是圆C1：（x-2）²+y2=1上的任一点，圆C2是过点（5，4）且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为（ ）

三、解答题（写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

22．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=2．M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为36．（1）证明：PM=MD；（2）若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值．

1．已知曲线
x
2
2
m
-
3
+
y
2
m
-
5
=
1
表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　）

2．若m,n满足m+2n-1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（　　）

3．已知F₁，F₂分别是双曲线
C
：
x
2
4
-
y
2
4
=
1
的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且
P
F
1
•
P
F
2
=
0
，则△PF₁F₂的面积为（　　）

4．若双曲线
x
2
a
-
y
2
b
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
和椭圆
x
2
m
+
y
2
n
=
1
（
m
＞
n
＞
0
）
有共同的焦点F₁，F₂，P是两条曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|=（　　）

5．若过点A（a,a）可作圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（　　）

6．动点P为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上异于椭圆顶点A（a,0），B（-a,0）的一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F₁P、F₁F₂的延长线及线段PF₂相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（　　）

7．点A是圆C₁：（x-2）²+y²=1上的任一点，圆C₂是过点（5，4）且半径为1的动圆，点B是圆C₂上的任一点，则AB长度的最小值为（　　）

22．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，
PA
=
PB
=
2
．M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为
3
6
．
（1）证明：PM=MD；
（2）若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值．