2020-2021学年浙江省“山水联盟”高三（上）开学数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．集合A={-2，-1，0，1，2，3}，集合B={x|x²-2x-3＜0}，则集合A∩B=（　　）

  A．{-3，-2，-1，0，1}	B．{-2，-1，0}
  C．{0，1，2}	D．{-1，0，1，2，3}
  组卷：33引用：1难度：0.8

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• 2．欧拉恒等式e^iπ+1=0被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例．欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为虚数单位，e为自然对数的底数），自变量x=π时，e^iπ=cosπ+isinπ=-1，得e^iπ+1=0．根据欧拉公式，复数z=e

  i

  2

  π

  3

  在复平面上所对应的点在第（　　）象限．

  A．一

  B．二

  C．三

  D．四
  组卷：36引用：2难度：0.8

  解析

• 3．若实数x,y满足约束条件

  2 x + y - 2 ≤ 0

  x - y - 1 ≥ 0

  y + 1 ≥ 0

  ，则z=x+y的最大值为（　　）

  A．1

  B． 1 2

  C．-1

  D．2
  组卷：43引用：1难度：0.7

  解析

• 4．函数y=x•sinx+cosx在区间[-π，π]的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：48引用：1难度：0.8

  解析

• 5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是（　　）
  

  A．4

  B． 4 3

  C． 8 3

  D．6
  组卷：81引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线E的离心率e=

  5

  ”是“双曲线E的渐近线方程为y=±2x”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：75引用：1难度：0.6

  解析

• 7．设α∈（0，

  π

  2

  ），β∈（0，π），若

  1

  +

  sinα

  1

  -

  sinα

  =

  1

  -

  cosβ

  1

  +

  cosβ

  ，则（　　）

  A．α+β= π 2

  B．α+β=π

  C．α-β= π 2

  D．β-α= π 2
  组卷：253引用：4难度：0.8

  解析

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知抛物线C：y²=2px,F为其焦点，点Q（1，y）（y＞0）在抛物线C上，且|FQ|=2，过点Q作抛物线C的切线l₁，P（x₀，y₀）为l₁上异于点Q的一个动点，过点P作直线l₂交抛物线C于A，B两点．
  （Ⅰ）求抛物线C的方程；
  （Ⅱ）若|PQ|²=|PA|•|PB|，求直线l₂的斜率，并求x₀的取值范围．
  组卷：108引用：1难度：0.5

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• 22．已知a＞1，函数f（x）=e^x-

  1

  2

  x²-ax-1，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
  （Ⅰ）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点；
  （Ⅱ）记x₀为函数y=f（x）在（0，+∞）上的零点，证明：x₀＜a.（参考数值：ln4.6≈1.53）
  组卷：397引用：1难度：0.1

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