2023-2024学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（四）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a,a∈M}，则集合M∩N=（　　）

  A．{0}

  B．{0，1}

  C．{1，2}

  D．{0，2}
  组卷：388引用：73难度：0.9

  解析

• 2．已知平面向量

  AB

  =

  （

  -

  1

  ，

  2

  ）

  ，则与

  AB

  方向相同的单位向量是（　　）

  A． （ 5 5 ，- 2 5 5 ）

  B． （ 2 5 5 ，- 5 5 ）

  C． （ - 5 5 ， 2 5 5 ）

  D． （ - 1 2 ， 1 ）
  组卷：349引用：2难度：0.7

  解析

• 3．第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（　　）

  A．0.75

  B．0.6

  C．0.55

  D．0.45
  组卷：268引用：4难度：0.7

  解析

• 4．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  A

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  （

  A

  ＞

  0

  ，

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

  A．函数y=f（x）的图象关于点 （ - π 3 ， 0 ） 对称

  B．函数y=f（x）的图象关于直线 x = 5 π 12 对称

  C．函数y=f（x）在 [ - 2 π 3 ，- π 6 ] 单调递减

  D．该图象向右平移 π 6 个单位可得y=2sin2x
  组卷：182引用：3难度：0.6

  解析

• 5．若与y轴相切的圆C与直线l：

  y

  =

  3

  3

  x

  也相切，且圆C经过点

  P

  （

  2

  ，

  3

  ）

  ，则圆C的半径为（　　）

  A．1

  B． 7 8

  C． 7 8 或 8 3

  D．1或 7 3
  组卷：55引用：2难度：0.6

  解析

• 6．若函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）是偶函数，则

  1

  a

  +

  4

  b

  的最小值为（　　）

  A．4

  B．2

  C． 2 2

  D． 2 3
  组卷：397引用：8难度：0.6

  解析

• 7．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  kx

  （

  x

  ∈

  [

  1

  e

  ，

  e

  ]

  ）

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  （

  1

  e

  ）

  x

  2

  ，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为（　　）

  A． [ - 1 e ， e ]

  B． [ - 2 e ， 2 e ]

  C． [ - 3 e ， 3 e ]

  D． （ - 2 e ， 2 e ）
  组卷：190引用：3难度：0.9

  解析

四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知经过点

  M

  （

  2

  6

  3

  ，

  2

  3

  ）

  的椭圆C₁：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  3

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  的上焦点与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）焦点重合，过椭圆C₁上一动点Q作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B．
  （1）求C₁和C₂的方程；
  （2）当Q在椭圆C₁位于x轴下方的曲线上运动时，试求△QAB面积的最大值．
  组卷：71引用：1难度：0.5

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• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  k

  （

  x

  -

  1

  ）

  x

  +

  1

  ．
  （1）若k=2，判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
  （2）若x＞1时，f（x）＞0恒成立．
  （i）求实数k的取值范围；
  （ⅱ）证明：∀n∈N^*，

  1

  n

  +

  1

  +

  1

  n

  +

  2

  +

  1

  n

  +

  3

  +

  …

  +

  1

  2

  n

  ＜

  ln

  2

  ．
  组卷：140引用：3难度：0.3

  解析