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2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/23 11:0:2

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线3x-2y-3=0的一个方向向量是（　　）
A．（2，-3） B．（2，3） C．（-3，2） D．（3，2）
组卷：55引用：1难度：0.8
解析
2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为上底面A₁C₁的中心，若
AO
=
A
A
1
+
x
AB
+
y
AD
，则实数x,y的值分别为（　　）
A．x=1，y=1 B．
x
=
1
2
，
y
=
1
2
C．
x
=
1
2
，
y
=
1
D．
x
=
1
，
y
=
1
2
组卷：45引用：1难度：0.8
解析
3．“a=-2”是“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：119引用：4难度：0.9
解析
4．如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（　　）
A．
19
米 B．
51
米 C．
2
19
米 D．
2
51
米
组卷：45引用：2难度：0.7
解析
5．若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x-y-5=0的距离为（　　）
A．
5
2
2
B．
3
2
2
C．
2
D．
2
2
组卷：47引用：1难度：0.7
解析
6．已知直线l：x+ycosθ-3=0，则l的倾斜角α的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．
[
π
4
，
π
2
]
C．
[
π
4
，
3
π
4
]
D．
[
π
4
，
π
2
）
∪
（
π
2
，
3
π
4
]
组卷：58引用：1难度：0.8
解析
7．已知直线3x+2y-6=0分别与x,y轴交于A，B两点，若直线x+y-1=0上存在一点C，使|CA|+|CB|最小，则点C的坐标为（　　）
A．
（
2
3
，
1
3
）
B．
（
6
5
，-
1
5
）
C．
（
4
3
，-
1
3
）
D．
（
4
5
，
1
5
）
组卷：92引用：2难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

21．已知动点E与两定点
A
（
4
5
，
4
5
）
，B（5，5）的距离之比为
2
5
．
（1）求动点E的轨迹C的方程；
（2）过点P（2，2）作两条直线分别与轨迹C相交于M，N两点，若直线PM与PN的斜率之积为1，试问线段MN的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
组卷：65引用：1难度：0.6
解析
22．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P，P₁分别为底面ABCD，A₁B₁C₁D₁内一动点，E为P₁B的中点．

（1）如图1，若P₁为D₁C₁的中点，求平面ADE与平面ABP₁D₁的夹角的余弦值；
（2）如图2，若PP₁⊥平面ABCD，P₁A=P₁B，求证：PE∥平面P₁AD．
组卷：17引用：1难度：0.5
解析