2022-2023学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（B卷）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．

  （

  sin

  π

  6

  ）

  ′

  =（　　）

  A．0

  B． cos π 6

  C． - sin π 6

  D． - cos π 6
  组卷：83引用：1难度：0.9

  解析

• 2．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n+1-a_n=2，则a₃=（　　）

  A．1

  B．3

  C．5

  D．7
  组卷：82引用：1难度：0.7

  解析

• 3．设某质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是s（t）=-t²，则质点在第1s时的瞬时速度等于（　　）

  A．2m/s

  B．1m/s

  C．-1m/s

  D．-2m/s
  组卷：74引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知函数f（x）=e^x+kx在x=0处有极值，则k=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．e
  组卷：145引用：4难度：0.5

  解析

• 5．已知{a_n}是公差不为0的等差数列，且a₁，a₂，a₄成等比数列，则该等比数列的公比为（　　）

  A．4

  B．2

  C．1

  D． 1 2
  组卷：95引用：4难度：0.7

  解析

• 6．用数学归纳法证明“对任意的n∈N*，1²+2²+3²+⋯+（2n）²=

  n

  （

  2

  n

  +

  1

  ）

  （

  4

  n

  +

  1

  ）

  3

  ”，第一步应该验证的等式是（　　）

  A． 1 2 = 1 × 1 × 3 3	B． 1 2 + 2 2 = 1 × 3 × 5 3
  C． 1 2 + 2 2 + 3 2 = 2 × 3 × 7 3	D． 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 2 × 5 × 9 3
  组卷：102引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的部分图象如图，则对于函数y=f（x）的描述错误的是​（　　）

  A．在（-3，-1）上单调递减	B．在（1，3）上单调递增
  C．x=-1为极值点	D．x=1为极值点
  组卷：71引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知A，B两地的距离是100km.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在[50，100]km/h,油价为8元/L．假设汽车以xkm/h的速度行驶时，耗油率为

  （

  4

  +

  x

  2

  400

  ）

  L/h,司机的人工费为40元/h.
  （Ⅰ）请将总费用W表示为车速x的函数；
  （Ⅱ）试确定x的值，使总费用W最小．
  组卷：58引用：3难度：0.6

  解析

• 21．定义“三角形数”：对于给定的正整数n,若存在正整数k,使得n=1+2+3+⋯+k,则称n是“三角形数”；否则，n不是“三角形数”．已知数列{a_n}满足a₁=1，且

  a

  n

  +

  1

  -

  a

  n

  =

  1 ， 若 n 是三角形数

  2 ， 若 n 不是三角形数

  ．
  （Ⅰ）写出a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的值；
  （Ⅱ）证明：当且仅当n是“三角形数”时，

  1

  +

  8

  （

  n

  +

  1

  ）

  -

  7

  2

  是正整数；
  （Ⅲ）证明：数列的通项公式为

  a

  n

  =

  2

  n

  -

  [

  1

  +

  8

  n

  -

  7

  2

  ]

  ，其中表示不超过的最大整数，如[3]=3，[0.4]=0，[1.7]=1．
  组卷：44引用：2难度：0.3

  解析