2007年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（共5小题，每小6分，满分30分）

• 1．方程组

  | x | + y = 12

  x + | y | = 6

  的解的个数为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：6791引用：27难度：0.7

  解析

• 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（　　）

  A．20

  B．18

  C．16

  D．14
  组卷：524引用：9难度：0.5

  解析

• 3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（　　）

  A．内心

  B．外心

  C．重心

  D．垂心
  组卷：215引用：3难度：0.9

  解析

• 4．已知三个关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0恰有一个公共实数根，则

  a

  2

  bc

  +

  b

  2

  ca

  +

  c

  2

  ab

  的值为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：3378引用：17难度：0.6

  解析

• 5．方程x³+6x²+5x=y³-y+2的整数解（x,y）的个数是（　　）

  A．0

  B．1

  C．3

  D．无穷多
  组卷：359引用：5难度：0.5

  解析

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

• 6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是

  ．
  组卷：766引用：10难度：0.7

  解析

三、解答题（共8小题，满分60分）

• 17．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

  DE

  CF

  =

  AD

  BC

  ．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
  求证：（1）

  AD

  BC

  =

  PD

  PC

  ；（2）△PAB∽△PDC．
  组卷：195引用：3难度：0.5

  解析

• 18．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u,v满足1≤

  u

  v

  ＜

  1

  +

  5

  2

  ．
  组卷：190引用：1难度：0.1

  解析