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2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/21 12:0:1

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）

1．若直线x+y-3=0与2x+ay-1=0垂直，则a=（　　）
A．-2 B．2 C．
1
2
D．
-
1
2
组卷：130引用：6难度：0.8
解析
2．椭圆的两个焦点是（-4，0）和（4，0），椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（　　）
A．
x
2
5
+
y
2
4
=
1
B．
x
2
5
+
y
2
3
=
1
C．
x
2
25
+
y
2
9
=
1
D．
x
2
16
+
y
2
9
=
1
组卷：339引用：1难度：0.8
解析
3．若方程x²+y²+4x+2y-m=0表示一个圆，则m的取值范围是（　　）
A．（-∞，-5） B．（-5，+∞） C．（-∞，5） D．（5，+∞）
组卷：298引用：5难度：0.8
解析
4．若双曲线C：
x
2
9
-
y
2
m
=
1
的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．
y
=±
7
4
x
B．
y
=±
5
4
x
C．
y
=±
4
3
x
D．
y
=±
7
3
x
组卷：863引用：4难度：0.7
解析
5．已知抛物线y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．8
组卷：255引用：1难度：0.8
解析
6．已知平面α的法向量为
n
=
（
2
，
1
，
1
）
，若平面α外的直线l的方向向量为
a
=
（
-
1
，
0
，
3
）
，则可以推断（　　）
A．l∥α B．l⊥α C．l与α斜交 D．l⊂α
组卷：67引用：2难度：0.7
解析
7．已知点M的坐标为（a,b），圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“|AB|=|CD|”是“a=b”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件
组卷：28引用：2难度：0.8
解析

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三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.

20．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的长轴长为
2
2
，离心率为
2
2
，过右焦点且与x轴不垂直的直线l与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为（2，1），记直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当
|
AB
|
=
5
2
4
时，求直线l的方程；
（Ⅲ）求证：k₁+k₂为定值．
组卷：276引用：4难度：0.5
解析
21．对于空间向量
m
=
（
a
,
b
,
c
）
，定义
|
|
m
|
|
=
max
{
|
a
|
，
|
b
|
，
|
c
|
}
，其中max{x,y,z}表示x,y,z这三个数的最大值．
（Ⅰ）已知
a
=
（
3
，-
4
，
2
）
，
b
=
（
x
,-
x
,
2
x
）
．
①直接写出
|
|
a
|
|
和
|
|
b
|
|
（用含x的式子表示）；
②当0≤x≤4，写出
|
|
a
-
b
|
|
的最小值及此时x的值；
（Ⅱ）设
a
=
（
x
1
，
y
1
，
z
1
）
，
b
=
（
x
2
，
y
2
，
z
2
）
，求证：
|
|
a
+
b
|
|
≤
|
|
a
|
|
+
|
|
b
|
|
；
（Ⅲ）在空间直角坐标系O-xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），点Q是△ABC内部的动点，直接写出
|
|
OQ
|
|
的最小值（无需解答过程）．
组卷：94引用：2难度：0.3
解析