2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  +

  3

  }

  ，B={x||x-2|＜1}，则A∪B=（　　）

  A．（-3，+∞）

  B．[-3，+∞）

  C．（-3，3）

  D．[-3，3）
  组卷：68引用：1难度：0.8

  解析

• 2．复数z在复平面内对应的点为（-2，1），则

  |

  z

  +

  3

  i

  |

  =（　　）

  A．8

  B．4

  C． 2 2

  D． 2
  组卷：177引用：4难度：0.8

  解析

• 3．截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（　　）
  

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  组卷：73引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知数列{a_n}为各项均为正数的等比数列，a₁=4，S₃=84，则log₂（a₁a₂a₃⋯a₈）的值为（　　）

  A．70

  B．72

  C．74

  D．76
  组卷：483引用：6难度：0.7

  解析

• 5．“

  a

  ≥

  2

  2

  ”是“圆C₁：x²+y²=4与圆C₂：（x-a）²+（y+a）²=1有公切线”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：190引用：8难度：0.6

  解析

• 6．为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（　　）

  A．96

  B．120

  C．144

  D．240
  组卷：298引用：2难度：0.7

  解析

• 7．设向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  2

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，若∃t∈R，

  |

  a

  +

  t

  b

  |

  ＜

  |

  a

  +

  b

  |

  ，则向量

  a

  与

  b

  的夹角不等于（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  组卷：287引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知点P（4，3）在双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，|PM|•|PN|=4．
  （Ⅰ）求双曲线C的方程；
  （Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
  ①k₁+k₂=1；②k₁k₂=1．
  组卷：215引用：2难度：0.5

  解析

• 22．伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数x＞-1且x≠0，正整数n不小于2，那么（1+x）ⁿ≥1+nx.研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．
  （Ⅰ）证明：当α∈[1，+∞）时，（1+x）^α≥1+αx对任意x＞-1恒成立；
  （Ⅱ）证明：对任意n∈N^*，1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+⋯+nⁿ＜（n+1）ⁿ恒成立．
  组卷：125引用：1难度：0.5

  解析