2023年上海交大附中高考数学模拟试卷（三）

一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果

• 1．设集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  -

  3

  x

  +

  2

  ＜

  0

  }

  ，则集合A∩Z=

  ．
  组卷：134引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知复数i•z=1+i,则复数z=

  ．
  组卷：100引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是

  ．
  组卷：477引用：10难度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  1

  ）

  ，向量

  a

  在

  b

  方向上的投影向量坐标为

  ．
  组卷：74引用：3难度：0.8

  解析

• 5．如图所示，ABCD-A′B′C′D′是长方体，其中AB=2，AD=AA′=1，点E是棱C′D′上一点，若异面直线A′B与DE互相垂直，则D′E=

  ．
  组卷：137引用：4难度：0.6

  解析

• 6．已知x,y∈R，且x+2y=1，则2^x+4^y的最小值是

  ．
  组卷：80引用：6难度：0.7

  解析

• 7．若

  （

  x

  +

  1

  x

  2

  ）

  n

  的二项展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为

  ．
  组卷：66引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

• 20．已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点B（0，b）且与直线BF₂垂直的直线交x轴负半轴于D，且

  2

  F

  1

  F

  2

  +

  F

  2

  D

  =

  0

  ．
  （1）求椭圆Γ的离心率；
  （2）若过B、D、F₂三点的圆恰好与直线

  l

  ：

  x

  -

  3

  y

  -

  6

  =

  0

  相切，求椭圆Γ的方程；
  （3）设a=2．过椭圆Γ右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：185引用：3难度：0.3

  解析

• 21．已知点A_n（a_n，b_n）（n∈N，n≥1）是函数y=x³图像上不同的点，设首项a₁=a（常数a∈R，a≥0），记c_n=a_n+a_n+1（n∈N，n≥1）．
  （1）若数列{c_n}是一个5项的等比数列，其中c₂=4，c₅=32，当a=1时，试写出数列{a_n}的前6项；
  （2）若数列{c_n}是一个无穷等差数列，满足c₁=1，c₃=7，当a=0时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
  （3）若对于任意n∈N，n≥1，都有

  c

  n

  =

  1

  2

  a

  n

  +

  3

  2

  ，当数列{a_n}各项均不为1时，记

  k

  n

  =

  b

  n

  -

  1

  a

  n

  -

  1

  ，若存在常数k₀，使得对于任意n∈N，n≥1，不等式（k_n-k₀）（k_n+1-k₀）＜0都成立，求非负实数a的取值范围．
  组卷：174引用：3难度：0.1

  解析